Επιμήκυνση ορθογωνίου

KARKAR · #1

: Επιμήκυνση ορθογωνίου.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές

Το ορθογώνιο ABCD

έχει διαστάσεις

και

και το

είναι το μέσο της μικρότερης πλευράς

.

α) Βρείτε σημεία S , N , T

, των πλευρών AB , BC , CD

, αντίστοιχα , ώστε το MSNT

να είναι ορθογώνιο .

β) Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{SN}{SM}$ , συναρτήσει του λόγου $\dfrac{a}{b}$ . Εφαρμογή για την περίπτωση : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2024 7:29 am
Επιμήκυνση ορθογωνίου.pngΤο ορθογώνιο έχει διαστάσεις και και το είναι το μέσο της μικρότερης πλευράς .

α) Βρείτε σημεία , των πλευρών , αντίστοιχα , ώστε το να είναι ορθογώνιο .

β) Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{SN}{SM}$ , συναρτήσει του λόγου $\dfrac{a}{b}$ . Εφαρμογή για την περίπτωση : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$ .

α) Έστω

το μέσο του BC.

Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει την

σε δύο σημεία και την

σε άλλα δύο

σημεία. Αν επιλέξω στην

το σημείο

πλησιέστερα στο

τότε θα πάρω στην

το σημείο

πλησιέστερα

στο

Το

είναι το ζητούμενο ορθογώνιο.

: Επιμήκυνση ορθογωνίου.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές

β) Με τους συμβολισμούς του σχήματος και από την ομοιότητα των τριγώνων BNS, ASM

έχω:

$\displaystyle \frac{{SN}}{{SM}} = \frac{b}{{2x}} = \frac{{2(a - x)}}{b},$ απ' όπου θα υπολογίσω το

συναρτήσει των a,b.

$\displaystyle {b^2} = 4ax - 4{x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 4ax + {a^2} = {a^2} - {b^2} \Leftrightarrow {(2x - a)^2} = {a^2} - {b^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{2x < a}$

$\displaystyle a - 2x = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{2}$

$\displaystyle \frac{{SN}}{{SM}} = \frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }} = \frac{{b\left( {a + \sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)}}{{{b^2}}} = \frac{a}{b} + \sqrt {\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{b^2}}}} = \frac{a}{b} + \sqrt {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} - 1}$

Έτσι, αν $\dfrac{a}{b}=k,$ τότε $\boxed{\frac{{SN}}{{SM}} = k + \sqrt {{k^2} - 1}}$ και για την εφαρμογή $\boxed{\frac{{SN}}{{SM}} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} = {\phi ^2}}$

Επιμήκυνση ορθογωνίου

Επιμήκυνση ορθογωνίου

Re: Επιμήκυνση ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση