Νεανική κατασκευή

KARKAR · #1

: Νεανική κατασκευή.png (9.74 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

Κατασκευάστε παραλληλόγραμμο ABCD

, με την διαγώνιο

κάθετη στις βάσεις AB , DC

,

με την ιδιότητα : Ο λόγος των ( άνισων ) πλευρών του να ισούται με τον λόγο των διαγωνίων του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 8:20 am
Νεανική κατασκευή.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο , με την διαγώνιο κάθετη στις βάσεις ,

με την ιδιότητα : Ο λόγος των ( άνισων ) πλευρών του να ισούται με τον λόγο των διαγωνίων του .

Με αρχή των αξόνων το σημείο

τομής των διαγωνίων είναι D(0,d), B(0,-d), C(a,d), A(-a-d)

. Θέλουμε

$\dfrac {AC}{BD}= \dfrac {AD}{DC}$ (*) ισοδύναμα

$\dfrac {\sqrt {(2a)^2+(2d)^2 }}{2d}= \dfrac {\sqrt {a^2+(2d)^2 }}{a}$ δηλαδή 4a^2(a^2+d^2)= 4d^2(a^2+4d^2)

που σημαίνει $a^4={\color {red} 4}d^4$ , ισοδύναμα $\boxed { a= {\color {red} \sqrt 2 }d}$ (διόρθωσα αβλεψία. Ευχαριστώ τον θεματοθέτη για την επισήμανση) . H κατασκευή είναι τώρα άμεση.

(*) Υπόψη δεν θα μπορούσε να ισχύει η "ανάποδη" ισότητα
$\dfrac {AC}{BD}= \dfrac {DC}{AD}$ γιατί αν γράψουμε τις τιμές των μηκών (που τις γράψαμε παραπάνω) οδηγεί σε άτοπο, συγκεκριμένα,

a^2d^2=(a^2+d^2)(a^2+4d^2) > (a^2+0)(0+4d^2)= 4a^2d^2

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 8:20 am
Νεανική κατασκευή.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο , με την διαγώνιο κάθετη στις βάσεις ,

με την ιδιότητα : Ο λόγος των ( άνισων ) πλευρών του να ισούται με τον λόγο των διαγωνίων του .

Αλλιώς. Είναι γνωστό ότι $\displaystyle 2{a^2} + 2{b^2} = B{D^2} + A{C^2}\mathop = \limits^{\Pi .\Theta } {b^2} - {a^2} + A{C^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 3{a^2} + {b^2}$

: Νεανική κατασκευή.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές

$\displaystyle \frac{{A{C^2}}}{{B{D^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{{3{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {b^4} - 2{a^2}{b^2} - 3{a^4} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{b=a\sqrt 3}$ και $\boxed{BD=a\sqrt 2}$

Η κατασκευή τώρα είναι απλή.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 8:20 am
Νεανική κατασκευή.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο , με την διαγώνιο κάθετη στις βάσεις ,

με την ιδιότητα : Ο λόγος των ( άνισων ) πλευρών του να ισούται με τον λόγο των διαγωνίων του .

Θέτω :

(υποτίθεται σταθερό ) , $AD = x\,\,,\,\,DB = CT = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = d$ , οπότε ισχύουν ταυτόχρονα :

$\left\{ \begin{gathered} y = \sqrt {{x^2} - {a^2}} \,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ d = \sqrt {4{a^2} + {y^2}} \,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \frac{x}{a} = \frac{d}{y}\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , Π. Θ. και υπόθεση

: Νεανική κατασκευή_ok.png (17.23 KiB) Προβλήθηκε 74 φορές

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {\,2} \right)$ προκύπτει : $d = \sqrt {{x^2} + 3{a^2}}$ , οπότε η $\left( 3 \right)$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ γίνεται :

$\boxed{\frac{x}{a} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }} \Rightarrow x = a\sqrt 3 }$

Νεανική κατασκευή

Νεανική κατασκευή

Re: Νεανική κατασκευή

Re: Νεανική κατασκευή

Re: Νεανική κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση