Χορδή ημικυκλίου

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15459
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χορδή ημικυκλίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Σεπ 13, 2024 4:20 am

Χορδή  ημικυκλίου.png
Χορδή ημικυκλίου.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές
Στο ημικύκλιο με διάμετρο την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , σχεδιάζουμε χορδή CS ,

παράλληλη προς την διάμεσο BM . Υπολογίστε την CS συναρτήσει των b,c . Εφαρμογή : b=8 , c=3 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3607
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Χορδή ημικυκλίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Σεπ 13, 2024 5:51 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 13, 2024 4:20 am
Στο ημικύκλιο με διάμετρο την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , σχεδιάζουμε χορδή CS ,

παράλληλη προς την διάμεσο BM . Υπολογίστε την CS συναρτήσει των b,c . Εφαρμογή : b=8 , c=3 .
shape.png
shape.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Συμπληρώνουμε και το άλλο ημικύκλιο και έστω D το σημείο τομής του με τη διάμεσο BM.

Προφανώς CS = DB = x και από τα όμοια τρίγωνα BMA,CMD προκύπτει η CS συναρτήσει των b,c.

Για b = 8,\,c = 3 προκύπτει CS = \dfrac{{41}}{5}.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χορδή ημικυκλίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 13, 2024 10:46 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 13, 2024 4:20 am
Χορδή ημικυκλίου.pngΣτο ημικύκλιο με διάμετρο την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , σχεδιάζουμε χορδή CS ,

παράλληλη προς την διάμεσο BM . Υπολογίστε την CS συναρτήσει των b,c . Εφαρμογή : b=8 , c=3 .
Σχηματίζω το ορθογώνιο MBCN. Με Π.Θ βρίσκω \displaystyle CN = BM = \frac{{\sqrt {{b^2} + 4{c^2}} }}{2} και από

τα όμοια τρίγωνα ABM,NMC είναι \displaystyle \frac{{2BM}}{b} = \frac{b}{{2NC}} \Leftrightarrow NC = \frac{{{b^2}}}{{4BM}}
Χορδή ημικυκλίου.png
Χορδή ημικυκλίου.png (15.04 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές
\displaystyle CS = CN + NC = BM + \frac{{{b^2}}}{{4BM}} = \frac{{4B{M^2} + {b^2}}}{{4BM}} \Leftrightarrow \boxed{CS = \frac{{{b^2} + 2{c^2}}}{{\sqrt {{b^2} + 4{c^2}} }}}

Για την εφαρμογή, \boxed{CS=\frac{41}{5}}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2522
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Χορδή ημικυκλίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Σεπ 13, 2024 11:04 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 13, 2024 4:20 am
Χορδή ημικυκλίου.pngΣτο ημικύκλιο με διάμετρο την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , σχεδιάζουμε χορδή CS ,

παράλληλη προς την διάμεσο BM . Υπολογίστε την CS συναρτήσει των b,c . Εφαρμογή : b=8 , c=3 .
Εστω

 AT//MB//SC, ATSC  είναι τραπέζιο  και η BM  διάμεσος  .Στα τρίγωνα  
 
   TBA,BSC   Απο το Π.Θ  
 
     BS^{2}+(10-x)^{2}=9,(1),SB^{2}+x^{2}=73,(2),(1),(2)\Rightarrow x=\dfrac{41}{5}
Συνημμένα
Χορδή ημικυκλίου.png
Χορδή ημικυκλίου.png (19.94 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10182
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χορδή ημικυκλίου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 13, 2024 11:42 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 13, 2024 4:20 am
Χορδή ημικυκλίου.pngΣτο ημικύκλιο με διάμετρο την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , σχεδιάζουμε χορδή CS ,

παράλληλη προς την διάμεσο BM . Υπολογίστε την CS συναρτήσει των b,c . Εφαρμογή : b=8 , c=3 .

Έστω T το σημείο τομής των ευθειών SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA. Θέτω SC = x , BM = m\,\,,\,\,TA = k. Επειδή:

\vartriangle BMT \approx \vartriangle ABT\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle BAT \approx \vartriangle ABM θα ισχύουν :

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BM}}{{MT}} = \frac{{AM}}{{BM}} \hfill \\ 
  \frac{{BA}}{{AT}} = \frac{{AM}}{{BA}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {m^2} = \frac{b}{2}\left( {\frac{b}{2} + k} \right) \hfill \\ 
  {c^2} = k\frac{b}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{m = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2} + 4{c^2}} }\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{\,k = \frac{{2{c^2}}}{b}}\,\,\,\left( 2 \right)
Χορδή ημικυκλίου_new.png
Χορδή ημικυκλίου_new.png (23.08 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
Λόγω της παραλληλίας των SC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM ισχύει :\boxed{\frac{{SC}}{{BM}} = \frac{{TC}}{{TM}} \Rightarrow \frac{x}{m} = \frac{{2b + 2k}}{{b + 2k}}} κι έτσι λόγω των \left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 2 \right) προκύπτει:

\boxed{x = \frac{{{b^2} + 2{c^2}}}{{\sqrt {{b^2} + 4{c^2}} }}} . Επαλήθευση . Για c = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 8 δίδει : \boxed{x = \frac{{64 + 18}}{{\sqrt {64 + 36} }} = \frac{{82}}{{10}} = \frac{{41}}{5}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2932
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χορδή ημικυκλίου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Σεπ 15, 2024 12:57 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 13, 2024 4:20 am
Χορδή ημικυκλίου.pngΣτο ημικύκλιο με διάμετρο την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου τριγώνου ABC , σχεδιάζουμε χορδή CS ,

παράλληλη προς την διάμεσο BM . Υπολογίστε την CS συναρτήσει των b,c . Εφαρμογή : b=8 , c=3 .
Με BN//AC το BNCM είναι παραλ/μμο και το BNMA είναι ορθογώνιο με NC=BM= \dfrac{1}{2}  \sqrt{4c^2+b^2}

\triangle BSN \simeq  \triangle BAM \Rightarrow  \dfrac{SN}{ \dfrac{b}{2} }= \dfrac{ \dfrac{b}{2} }{ \dfrac{1}{2} \sqrt{4c^2+b^2}  } \Rightarrow SN=  \dfrac{b^2}{2 \sqrt{4c^2+b^2} }

Έτσι CS=CN+NS=..\dfrac{b^2+2c^2}{ \sqrt{4c^2+b^2} } . Για την εφαρμογή , CS= \dfrac{41}{5}
χορδή ημικυκλίου.png
χορδή ημικυκλίου.png (31.18 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες