Σταθερός λόγος 52

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερός λόγος 52

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am

Σταθερός  λόγος 52.png
Σταθερός λόγος 52.png (27.71 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Ο κύκλος (K , r) εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : (O , R ) , (R>r) , στο σημείο A .

Από σημείο P το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα PS

και την PA , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{PS}{PT}

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : R=4 , r=3 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13696
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερός λόγος 52

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 13, 2024 9:52 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am
Σταθερός λόγος 52.pngΟ κύκλος (K , r) εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : (O , R ) , (R>r) , στο σημείο A .

Από σημείο P το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα PS

και την PA , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{PS}{PT}

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : R=4, r=3 .
Από τα ισοσκελή τρίγωνα KAT, OAP προκύπτει ότι:

\displaystyle KT//OP \Leftrightarrow \frac{r}{R} = \frac{{AT}}{{AP}} \Leftrightarrow \frac{{R - r}}{R} = \frac{{PT}}{{AP}} \Leftrightarrow \boxed{AP = \frac{R}{{R - r}}PT} (1)
Σταθερός λόγος 52.png
Σταθερός λόγος 52.png (20.49 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
Εξάλλου από τα όμοια τρίγωνα PST, PSA είναι, \displaystyle P{S^2} = PT \cdot PA\mathop  = \limits^{(1)} \frac{R}{{R - r}}P{T^2} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{PS}}{{PT}} = \sqrt {\frac{R}{{R - r}}} }

που είναι σταθερό. Για R=4, r=3, είναι \dfrac{PS}{PT}=2.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2952
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σταθερός λόγος 52

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Νοέμ 13, 2024 11:29 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am
Σταθερός λόγος 52.pngΟ κύκλος (K , r) εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : (O , R ) , (R>r) , στο σημείο A .

Από σημείο P το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα PS

και την PA , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{PS}{PT}

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : R=4 , r=3 .
Είναι BP,CT \bot AP \Rightarrow BP//CT και PS^2=PA.PT.Άρα

\dfrac{PS^2}{PT^2}= \dfrac{PA}{PT}= \dfrac{BA}{BC}= \dfrac{2R}{2R-2r}= \dfrac{R}{R-r} \Rightarrow  \dfrac{PS}{PT}= \sqrt{ \dfrac{R}{R-r} }
Σταθερός λόγος 52.png
Σταθερός λόγος 52.png (24.38 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σταθερός λόγος 52

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 13, 2024 12:12 pm

Είναι φανερό , ότι ο Γιώργος προσπαθεί να αποφύγει λύση με "δύναμη σημείου ως προς κύκλο " επιλέγοντας - λόγω

του φακέλου - την "ομοιότητα " . Ωστόσο νομίζω ότι για τους διαγωνιζόμενους juniors , και το πρώτο θεωρείται γνωστό .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερός λόγος 52

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 13, 2024 2:24 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am
Σταθερός λόγος 52.pngΟ κύκλος (K , r) εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : (O , R ) , (R>r) , στο σημείο A .

Από σημείο P το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα PS

και την PA , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{PS}{PT}

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : R=4 , r=3 .

Φέρνω την κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων . Ας είναι M το άλλο σημείο τομής της AS με το μεγάλο κύκλο .

Οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες ως παρά την βάση ισοσκελών τριγώνων ενώ λόγω της πρότασης υπό χορδής κι εφαπτομένης
Σταθερός λόγος 52_a.png
Σταθερός λόγος 52_a.png (23.15 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Είναι : \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} , συνεπώς έχω: KS//OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS//PM. Θέτω , OK = m = R - r.

P{S^2} = PT \cdot PA\,\,\,\left( 1 \right) ( με ομοιότητα ή με δύναμη σημείου) . Επίσης , \boxed{\frac{{OA}}{{OK}} = \frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{PA}}{{PT}} = \frac{{PA.PT}}{{P{T^2}}} = \frac{{P{S^2}}}{{P{T^2}}}}. Άρα , \boxed{\frac{{PS}}{{PT}} = \sqrt {\frac{R}{{R - r}}} }.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2541
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Σταθερός λόγος 52

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Νοέμ 14, 2024 10:21 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2024 8:24 am
Σταθερός λόγος 52.pngΟ κύκλος (K , r) εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου : (O , R ) , (R>r) , στο σημείο A .

Από σημείο P το οποίο κινείται στον μεγαλύτερο κύκλο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα PS

και την PA , η οποία τέμνει τον μικρότερο κύκλο στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{PS}{PT}

είναι σταθερός και υπολογίστε τον , αν : R=4 , r=3 .
Είναι

NT//PM,\dfrac{TA}{AP}=\dfrac{r}{R},(1), 
 
   (1) \Rightarrow \dfrac{AP}{TP}=\dfrac{R}{R-r},(2),

PS^{2}=AP.TP\Leftrightarrow \dfrac{PS^{2}}{TP^{2}}=\dfrac{AP}{TP},(3), 
 
(2),(3) \Rightarrow \dfrac{PS}{TP}=\sqrt{\dfrac{R}{R-r}}
Συνημμένα
Σταθερός λόγος 52.png
Σταθερός λόγος 52.png (21.06 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης