Κερδίζει ο τρίτος

KARKAR · #1

: Κερδίζει ο τρίτος.png (8.79 KiB) Προβλήθηκε 1507 φορές

Σημείο

κινείται στην βάση

του ισοσκελούς τριγώνου ABC

. Δείξτε ότι η ποσότητα : x^2+yz

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 11:35 am Κερδίζει ο τρίτος.pngΣημείο κινείται στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου . Δείξτε ότι η ποσότητα :

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση

.

: stathero.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 1484 φορές

.
(Συν μικρή δόρθωση τυπογραφικού, στην εκφώνηση).

Φέρνουμε το ύψος

. Είναι τότε $x^2{\color {red} +}yz = (h^2+t^2)+ \left (\dfrac {a}{2}+t \right )\left (\dfrac {a}{2}-t \right )= h^2+ \dfrac {a^2}{4}=b^2$ σταθερό.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 11:35 am Κερδίζει ο τρίτος.pngΣημείο κινείται στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου . Δείξτε ότι η ποσότητα :

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση

: σταθερό.png (25.42 KiB) Προβλήθηκε 1473 φορές

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 11:35 am Κερδίζει ο τρίτος.pngΣημείο κινείται στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου . Δείξτε ότι η ποσότητα :

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση

Έστω $SP=PC,AD\perp BC$

Στο τρίγωνο

$ASC,AC^{2}-AS^{2}=2SC.DP,DP=DS+\dfrac{SC}{2}=\dfrac{BS}{2}\Rightarrow b^{2}-x^{2}=2z.\dfrac{y}{2}, b^{2}-x^{2}=yz, b^{2}=x^{2}+yz$

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 11:35 am Κερδίζει ο τρίτος.pngΣημείο κινείται στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου . Δείξτε ότι η ποσότητα :

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση

Είναι μία πρόταση που την έχω χρησιμοποιήσει πάμπολλες φορές στο

Χωρίς λόγια!

: Ο 3ος κερδίζει.png (12.61 KiB) Προβλήθηκε 1448 φορές

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 11:35 am Κερδίζει ο τρίτος.pngΣημείο κινείται στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου . Δείξτε ότι η ποσότητα :

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση

Στο βιβλίο της Γεωμετρίας του, Δ. Γουβίτσα για Β λυκείου έχει 4 διαφορετικές λύσεις . Εκτός τη λύση του Τσουρακάκη

Του Γιώργου είναι στην σελίδα 133

και είναι η πιο όμορφη για μένα .

#7

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 11:35 am Σημείο κινείται στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου . Δείξτε ότι η ποσότητα :

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση

.

: Stew.png (4.26 KiB) Προβλήθηκε 1432 φορές

.
Από Stewart εδώ έχουμε a(x^2+yz)= b^2z+b^2y=b^2(y+z)=b^2a

. Άρα

.

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 5:42 pm
KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 11:35 am Σημείο κινείται στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου . Δείξτε ότι η ποσότητα :

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση
.
Stew.png
.
Από Stewart εδώ έχουμε . Άρα .

Αυτή δεν την έχω ξαναδεί,

ksofsa · #9

Το

δευτεροβάθμιο πολυώνυμο του

, λόγω του νόμου συνημιτόνων στο ASC

.

Το

δευτεροβάθμιο πολυώνυμο του

(άμεσο).

Το f(z)=x^2+yz

γράφεται, επομένως, ως πολυώνυμο του

, το πολύ 2ου βαθμού.

f(a)=f(a/2)=f(0)=b^2

Άρα, το

σταθερό και ίσο με b^2

. Αν όχι, το f(z)-b^2

πολυώνυμο το πολύ 2ου βαθμού, με

ρίζες, πράγμα αδύνατο.

#10

ksofsa έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 7:18 pm Το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο του , λόγω του νόμου συνημιτόνων στο .

Το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο του (άμεσο).

Το γράφεται, επομένως, ως πολυώνυμο του , το πολύ 2ου βαθμού.

Άρα, το σταθερό και ίσο με . Αν όχι, το πολυώνυμο το πολύ 2ου βαθμού, με ρίζες, πράγμα αδύνατο.

Εξαιρετικά ενδιαφέρουσα λύση.

Την γράφω με δικά μου λόγια για να είναι λίγο πιο προσιτή σε μαθητές Γυμνασίου:

Από τον Νόμο των συνημιτόνων στο ASC

έχουμε

$x^2+yz=(b^2+z^2-2bz\cos C)+(a-z)z= (a-2b\cos C)z +b^2$ που είναι το πολύ πρωτοβάθμιο πολυώνυμο του

(οι συντλεστές είναι σταθεροί).

Όμως το αριστερό μέλος ισούται α) με b^2

όταν

γιατί τότε x=b

και β) με

(ξανά) όταν z=a

γιατί τότε x=b

και

.

Άρα το $(a-2b\cos C)z +b^2$ είναι σταθερό (οι μη σταθερές ευθείες παίρνουν όλες τις τιμές από μία φορά). Με άλλα λόγια x^2+yz=

σταθερό, όπως θέλαμε.

Όλα αυτά μας δίνουν την εξής παραλλαγή της λύσης: Βασίζεται στην παρατήρηση ότι $b\cos C = \dfrac {a}{2}, \,(*)$ .

Έχουμε, όπως πριν,

$x^2+yz=(b^2+z^2-2bz\cos C)+(a-z)z= (a-2b\cos C)z +b^2 = ^{(*)}\left (a-2\cdot \dfrac {a}{2}\right )z+b^2= b^2$ (σταθερό).

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 17, 2025 11:35 am Κερδίζει ο τρίτος.pngΣημείο κινείται στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου . Δείξτε ότι η ποσότητα :

παραμένει σταθερή . Νικητής θα ανακηρυχθεί αυτός που θα δημοσιεύσει την τρίτη ( διαφορετική ) λύση

Κατασκευάζοντας το παραλ/μμο ABSD

,προφανώς το ASCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο

Έτσι ο Πτολεμαίος δίνει x^2+yz=b^2=ct

: Κερδίζει ο τρίτος.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 1321 φορές

Κερδίζει ο τρίτος

Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Re: Κερδίζει ο τρίτος

Μέλη σε σύνδεση