Εσωτερικό τμήμα

KARKAR · #1

: Εσωτερικό τμήμα.png (8.79 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς BC=a

, του τετραγώνου ABCD

. Η διαγώνιος

τέμνει την

στο σημείο

και το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

.Υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 16, 2026 9:30 am Εσωτερικό τμήμα.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του τετραγώνου . Η διαγώνιος

τέμνει την στο σημείο και το ημικύκλιο διαμέτρου στο .Υπολογίστε το τμήμα .

Εύκολα με Πυθαγόρειο βρίσκω $AM=\dfrac{a\sqrt 5}{2}$ και $AS=SM=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}.$

: Εσωτερικό σημείο.Κ.png (15.78 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

Νόμος συνημιτόνου στο ASD,

$\displaystyle \frac{{5{a^2}}}{8} = {a^2} + {x^2} - ax\sqrt 2 \Leftrightarrow 8{x^2} - 8ax\sqrt 2 + 3{a^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x < a} x = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$

Από το ισοσκελές SAM

είναι $\displaystyle A{S^2} = S{P^2} + AP \cdot PM = S{P^2} + SP \cdot PB = SP \cdot SB = SP(DB - x) = SP\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}$

Άρα, $\displaystyle \frac{{5{a^2}}}{8} = SP\frac{{3a\sqrt 2 }}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{SP=\frac{5a\sqrt 2}{12}}$

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 16, 2026 9:30 am Εσωτερικό τμήμα.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του τετραγώνου . Η διαγώνιος

τέμνει την στο σημείο και το ημικύκλιο διαμέτρου στο .Υπολογίστε το τμήμα .

Αλλιώς, περισσότερο γυμνασιακό. Εύκολα με Πυθαγόρειο βρίσκω $AM=\dfrac{a\sqrt 5}{2}$ και $AS=SM=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}.$

: Εσωτερικό σημείο.Κb.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές

$\displaystyle AD||AM \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{PM}} = \frac{a}{{a/2}} = 2 \Leftrightarrow AP = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}$

Με νόμο συνημιτόνου στο SAP

είναι $\displaystyle S{P^2} = \frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{5{a^2}}}{9} - \frac{{a\sqrt {10} }}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{3}\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{SP=\frac{5a\sqrt 2}{12}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 16, 2026 9:30 am Εσωτερικό τμήμα.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του τετραγώνου . Η διαγώνιος

τέμνει την στο σημείο και το ημικύκλιο διαμέτρου στο .Υπολογίστε το τμήμα .

$\dfrac{AD}{MB} = \dfrac{AP}{PM}= \dfrac{DP}{PB}=2 \Rightarrow PB= \dfrac{a \sqrt{2} }{3}$

Με Π.Θ στο $\triangle AMB \Rightarrow x^2= \dfrac{5a^2}{36}$ και $2x^2=y. \dfrac{a \sqrt{2} }{3}$ απ' όπου $y= \dfrac{5a \sqrt{2} }{12}$

: Εσωτερικό τμήμα.png (22.78 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 16, 2026 9:30 am Εσωτερικό τμήμα.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του τετραγώνου . Η διαγώνιος

τέμνει την στο σημείο και το ημικύκλιο διαμέτρου στο .Υπολογίστε το τμήμα .

Αλλιώς...

$KS//NA \Rightarrow DS=SN= \dfrac{a \sqrt{2} }{4}$

$\dfrac{BP}{PN} = \dfrac{AB}{MN}=2 \Rightarrow x= \dfrac{ \dfrac{a \sqrt{2} }{2} }{3}= \dfrac{a \sqrt{2} }{6}$

$SP=x+y= \dfrac{5a \sqrt{2} }{12}$

: Εσωτερικό τμήμα.png (22.78 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #6

Χαιρετώ όλους!

: 16-2 Εσωτερικό τμήμα.png (412.66 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές

Έστω

το μέσον της

(κέντρο του κύκλου ). Όπως ο Γιώργος $AP=2AM/3\Rightarrow OP=AM/6$ ενώ OS= R= AM/2

Με το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο BAM

παίρνουμε $AM^{2} =\dfrac{5a^2}{4}$

και με το αυτό θεώρημα στο τρίγωνο POS

βρίσκουμε τελικά $SP=\dfrac{5a\sqrt{2}}{12}$

Εσωτερικό τμήμα

Εσωτερικό τμήμα

Re: Εσωτερικό τμήμα

Re: Εσωτερικό τμήμα

Re: Εσωτερικό τμήμα

Re: Εσωτερικό τμήμα

Re: Εσωτερικό τμήμα

Μέλη σε σύνδεση