Μεγάλες κατασκευές 115

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 115.png (17.63 KiB) Προβλήθηκε 1347 φορές

Από σημείο

κύκλου ακτίνας

, να αχθούν χορδές NS=x ,

, τέτοιες ώστε : $\widehat{SNP}=\widehat{PNT}$ .

#2

Κατασκευάζω ισοσκελές τρίγωνο spt

με

τυχαίο, και st=3k/2

.

Η μεσοκάθετος του

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου αυτού, προς το μέρος του

, στο

Είναι άμεση η ισότητα των γωνιών snp

και

. Από το θεώρημα του Πτολεμαίου, στο nspt

, προκύπτει ns=np/2

Η ζητούμενη κατασκευή τελειώνει αν πάρουμε τις γωνίες SNP, PNT

ίσες με τις snp, pnt

, και η διχοτόμος της PNT

να είναι διάμετρος.

S.E.Louridas · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 1:11 pmΑπό σημείο κύκλου ακτίνας , να αχθούν χορδές

, τέτοιες ώστε : $\widehat{SNP}=\widehat{PNT}$ .

Ας δούμε και την ημέτερη άποψη:

Αν

η τομή των ST, NP

, τότε τα τρίγωνα NSP, NLT

προκύπτουν ίσα. Έτσι τελικά παίρνουμε ότι:

LN=x=PL

επομένως και από την προφανή ομοιότητα των τριγώνων TLP, NPT

έχουμε $\displaystyle{P{T^2} = PL \cdot PN \Rightarrow \frac{{PK}}{{NP}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\;\,{\alpha \nu }}\;\,PK = KT.}$

Αυτό οδηγεί στο ότι το ορθογώνιο τρίγωνο NPK

είναι κατασκευάσιμο επομένως κατασκευάζεται άμεσα η γωνία $\angle PNK,$

άρα και η διπλάσια της γωνία $\angle PNT.$ Εδώ ακριβώς και επί της ουσίας τελειώσαμε.

: fig..png (36.41 KiB) Προβλήθηκε 1282 φορές

edit: Τοποθέτηση του σχήματος

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 1:11 pm Μεγάλες κατασκευές 115.pngΑπό σημείο κύκλου ακτίνας , να αχθούν χορδές

, τέτοιες ώστε : $\widehat{SNP}=\widehat{PNT}$ .

Ανάλυση: Έστω $2\theta$ οι ίσες γωνίες. Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα NPT, NSP

κι επειδή

θα είναι: $\displaystyle 8{x^2} - 8{x^2}\cos 2\theta = 5{x^2} - 4{x^2}\cos 2\theta \Leftrightarrow \cos 2\theta = \frac{3}{4}$ και $\displaystyle \cos \theta = \sqrt {\frac{7}{8}} .$

: ΜΚ-115.png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

Κατασκευή: Από το σημείο

φέρνω τη διάμετρο

και κατασκευάζω εκατέρωθεν της

τις χορδές $NP=NT=r\sqrt{\dfrac{7}{2}}.$ Η χορδή $NS=\dfrac{NP}{2}$ ολοκληρώνει την κατασκευή.

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 1:11 pm Μεγάλες κατασκευές 115.pngΑπό σημείο κύκλου ακτίνας , να αχθούν χορδές

, τέτοιες ώστε : $\widehat{SNP}=\widehat{PNT}$ .

Προφανώς αρκεί με δεδομένα την ακτίνα

του κύκλου και το σταθερό σημείο

να προσδιορίσω τα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ .

Κατασκευή .

Ας είναι $r = 4k\,\,,k > 0$ ,

το αντιδιαμετρικό του

και

το κέντρο του κύκλου .

Στην ακτίνα

θεωρώ σημείο

με $\boxed{OC = 3k}$ . Η κάθετη, στο

, στην

τέμνει τον κύκλο στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ .

Απόδειξη

Ας είναι TC = y

θα ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} N{T^2} = NC \cdot NZ \hfill \\ T{C^2} = CN \cdot CZ \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} = 14{k^2}\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ {y^2} = 7{k^2}\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

και με

το μέσο του

, από 1ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle TNP$ προκύπτει :

: μεγάλες κατασκευές 115_κατασκευή_new.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 1271 φορές

$T{N^2} + T{P^2} = 2T{M^2} + \dfrac{{T{P^2}}}{2} \Rightarrow 4{x^2} + 4{y^2} = 2T{M^2} + 2{x^2} \Rightarrow T{M^2} = 28{k^2} = T{P^2}$

και λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ , $T{M^2} = 28{k^2} = T{P^2}$ , δηλαδή $\boxed{TM = TP}$ .

Αν τώρα η

στην προέκτασή της κόψει ακόμα στο

το κύκλο ,

από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων $TMP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NS'M \Rightarrow NM = NS'\,$ και άρα $S' \equiv S$ με προφανώς : $\boxed{NM = NS' = NS = x}$

Μεγάλες κατασκευές 115

Μεγάλες κατασκευές 115

Re: Μεγάλες κατασκευές 115

Re: Μεγάλες κατασκευές 115

Re: Μεγάλες κατασκευές 115

Re: Μεγάλες κατασκευές 115

Μέλη σε σύνδεση