Ανισότητα

#1

Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a, b, c

είναι τέτοιοι, ώστε $ab + ac + bc \ge a + b + c$ , να αποδείξετε ότι $a + b + c \ge 3$ .
Ισχύει το ίδιο αν δεν υποθέσουμε ότι a, b, c>0;

αρψ2400 · #2

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 03, 2025 4:05 pm
Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε $ab + ac + bc \ge a + b + c$ , να αποδείξετε ότι $a + b + c \ge 3$ .
Ισχύει το ίδιο αν δεν υποθέσουμε ότι

Ισχύει $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$
( $\displaystyle a^2 + b^2 + c^2 - (ab + ac + bc) = \frac{1}{2} \left[(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 \right] \geq 0$ )

για οποιουσδήποτε αριθμούς και $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca) \ge 3(ab+bc+ca)$ για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς. Από την υπόθεση $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca)\ge3(ab+bc+ca) \ge 3(a+b+c)$ .
Αν οι πραγματικοί αριθμοί a, b, c

είναι θετικοί τότε a+b+c

θετικό και διαιρώντας με αυτό την προηγούμενη ανίσωση διατηρείται η φορά της και $a + b + c \ge 3$ .
Αν δεν υποθέσουμε a, b, c>0

τότε ΑΝ το άθροισμα a + b + c

είναι αρνητικό , διαιρώντας με αυτό παίρνουμε την ανάποδη ανίσωση $a + b + c \le 3$ . Π.χ. για την τριάδα a=1 ,b=-2 ,c=-4

ισχύει η υπόθεση και η $a + b + c \le 3$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση