Ελεγχόμενη σφήνα

KARKAR · #1

: Ελεγχόμενη σφήνα.png (12 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές

Υπολογίστε την γωνία $\theta$ του επισυναπτόμενου σχήματος .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 11:00 am Ελεγχόμενη σφήνα.pngΥπολογίστε την γωνία $\theta$ του επισυναπτόμενου σχήματος .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 11:00 am Ελεγχόμενη σφήνα.pngΥπολογίστε την γωνία $\theta$ του επισυναπτόμενου σχήματος .

Το τρίγωνο του σχήματος εκπληρώνει τις προδιαγραφές της εκφώνησης .

Προφανές ότι η γωνία που θέλουμε είναι $15^\circ$

: Ελεγχόμενη σφήνα.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

Η ορθή γωνία προκύπτει λόγω αρμονικότητας

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 11:00 am Υπολογίστε την γωνία $\theta$ του επισυναπτόμενου σχήματος.

: shape.jpg (26.24 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Φέρνω $BD \bot AC$ και εκφράζω συναρτήσει του

, τις πλευρές των τριγώνων $BDC({45^ \circ }{,90^ \circ }{,45^ \circ })$ και $BDA({30^ \circ }{,90^ \circ }{,60^ \circ })$ .

Παρατηρώ ότι $\dfrac{{AB}}{{BS}} = \dfrac{{CB}}{{BA}}\, \wedge \,\angle B = {75^ \circ }$ , επομένως $\triangleleft ABS \sim \triangleleft CBA$ .

Έτσι, ${60^ \circ } - \theta = {45^ \circ } \Leftrightarrow \theta = {15^ \circ }$ .

#5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 1:20 pm
KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 11:00 am Υπολογίστε την γωνία $\theta$ του επισυναπτόμενου σχήματος.
shape.jpgΦέρνω $BD \bot AC$ και εκφράζω συναρτήσει του , τις πλευρές των τριγώνων $BDC({45^ \circ }{,90^ \circ }{,45^ \circ })$ και $BDA({30^ \circ }{,90^ \circ }{,60^ \circ })$ .

Παρατηρώ ότι $\dfrac{{AB}}{{BS}} = \dfrac{{CB}}{{BA}}\, \wedge \,\angle B = {75^ \circ }$ , επομένως $\triangleleft ABS \sim \triangleleft CBA$ .

Έτσι, ${60^ \circ } - \theta = {45^ \circ } \Leftrightarrow \theta = {15^ \circ }$ .

add2math · #6

Αρχικά έχουμε ότι $\frac{\sin45}{2\sin75}=\frac{\sin15}{\sin45}\Leftrightarrow \sin45\cdot\sin45=2\sin15\cos15}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\sin30$ , ισχύει.
Από τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα ABS

και

έχουμε αντίστοιχα:
$\frac{2/3 a}{\sin(60-\theta)}=\frac{AS}{\sin75}$ και $\frac{1/3 a}{\sin\theta}=\frac{AS}{\sin45}$ .
Με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι
$\frac{2\sin \theta}{\sin(60-\theta)}=\frac{\sin45}{\sin75}$ , άρα $\frac{\sin \theta}{\sin(60-\theta)}=\frac{\sin15}{\sin45}=\frac{\sin15}{\sin(60-15)}$
οπότε η γωνία θ είναι δεκαπεντάρα, εγγονή της υπεραιωνόβιας

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 11:00 am Ελεγχόμενη σφήνα.pngΥπολογίστε την γωνία $\theta$ του επισυναπτόμενου σχήματος .

Με $BD \bot AC$ και

συμμετρικό του

ως προς

προφανώς $\triangle ABE$ είναι ισόπλευρο πλευράς

Επομένως $BD=DC= \dfrac{c \sqrt{3} }{2} \Rightarrow a^2=2BD^2= \dfrac{3c^2}{2} \Rightarrow c^2= \dfrac{2a^2}{3}=BS.BC$

Άρα η

εφάπτεται του κύκλου (E,C,S)

συνεπώς $\angle BES=45^0 \Rightarrow \angle CSE=60^0= \angle BAC$

Επομένως AESB

εγγράψιμμο κι έτσι $\theta = \angle EBC=15^0$

(Πιο απλά ,η AB=c

εφάπτεται του κύκλου (A,S,C)

άρα $\angle BAS=45^0 \Rightarrow \theta =15^0$

: Eλεγχόμενη σφήνα.png (41.56 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές

#8

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 11:00 am Ελεγχόμενη σφήνα.pngΥπολογίστε την γωνία $\theta$ του επισυναπτόμενου σχήματος .

Πρώτο βήμα : Έστω ευθύγραμμο τμήμα BC = a = 6k

ή πιο απλά $a = 6{\kern 1pt} \,\,\left( 1 \right)$ . Θεωρώ κύκλο O,R

με χορδή

και απόστημα

προς τη χορδή , ίσο με το μισό της ακτίνας . Για κάθε σημείο

του μεγάλου τόξου θα είναι ως γνωστό : $A = 60^\circ$ .

: Ελεγχόμενη σφήνα_Λύση_a.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

Δεύτερο βήμα : Το σημείο

του

είναι τέτοιο ώστε $MS = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SC = 2$ . Προφανώς $BS = 4\,\,,\,\,SC = 2$

ή εν γένει $BS = 4k = \dfrac{{2a}}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SC = 2k = \dfrac{a}{3}$ .

Η ημιευθεία

τέμνει τον κύκλο στο

. Η τετράδα , $\left( {B,S\backslash M,C} \right)$ είναι αρμονική , γιατί $\dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$ , $OS = \dfrac{{BS}}{2} = 2 = SC$ .

: Ελεγχόμενη σφήνα_Λύση_b.png (26.14 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

Απ’ αυτά προκύπτει ότι η

είναι εσωτερική και η

εξωτερική διχοτόμος στο $\vartriangle OMC$ . Το $\vartriangle OAB$ είναι ισοσκελές

Ορθογώνιο , οπότε οι γωνίες της βάση του είναι από $45^\circ$ . Δηλαδή στο $\vartriangle ABC$ είναι , $\widehat {CBA} = 75^\circ \,,\,\,\widehat {ACB} = 45^\circ$

Είναι τώρα πολύ απλό να δείξουμε ότι $\widehat {OAC} = \widehat {ACO} = 15^\circ$ .

Γιώργος Μήτσιος · #9

Καλό βράδυ σε όλους!

Μια ..απόπειρα ερμηνείας του τίτλου που έδωσε στο παρόν θέμα ο Θανάσης:

Ελεγχόμενη η λύση του -απαντήθηκε ήδη πολλαπλώς- αλλά και ..εμβόλιμο ως σφήνα ,
με την προσδοκία να τελειώνει ο χρόνος της υπεραιωνόβιας .. .. ως αναπάντητη βεβαίως!

Χρήστο , η δεκαπεντάρα είναι μάλλον δισέγγονη ή τρισέγγονη της εν λόγω υπεραιωνόβιας

Και μια προσέγγιση , που δεν είναι προφανώς αναλυτική λύση , αλλά συνοπτική υπόδειξη:

Αν $SC=\sqrt{2}$ τότε $AB=2\sqrt{3}$ και το τρίγωνο BAS

είναι

μοιρών..

Φιλικά, Γιώργος.

KARKAR · #10

Με την υπεραιωνόβια κάτι γίνεται , με την υπερβατικότητα όμως ; Προφανώς η άσκηση αξιοποιεί το σχήμα αυτής .

#11

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 11:00 am Ελεγχόμενη σφήνα.pngΥπολογίστε την γωνία $\theta$ του επισυναπτόμενου σχήματος .

Η πρώτη μου επιλογή ήταν παρόμοια με του Χρήστου (add2math) Ας το δούμε όμως και αλλιώς.

Φέρνω τη διχοτόμο

και διαπιστώνω ότι AE=c.

Με νόμο συνημιτόνου στο ABC

έχω $\boxed{a^2=b^2+c^2-bc}$ (1)

$\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin 45^\circ = (ABC) = \frac{1}{2}bc\sin 60^\circ \Leftrightarrow a\sqrt 2 = c\sqrt 3 \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {c^2} + 2bc - 2{b^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{c}{b}={\sqrt 3-1}}$

: Ελεγχόμενη σφήνα.png (13.55 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο ABE

είναι $\displaystyle B{E^2} = 2{c^2} - {c^2}\sqrt 3 = {c^2}\frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow BE = \frac{{c(\sqrt 3 - 1)}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a(\sqrt 3 - 1)}}{{\sqrt 3 }}$

$\displaystyle ES = BS - BE = \frac{{2a}}{3} - \frac{{a(\sqrt 3 - 1)}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a(\sqrt 3 - 1)}}{3} \Rightarrow \frac{{ES}}{{SC}} = \sqrt 3 - 1 = \frac{c}{b} = \frac{{AE}}{{AC}},$

που σημαίνει ότι η

είναι διχοτόμος του τριγώνου AEC,

άρα $\boxed{\theta=15^\circ}$

Ελεγχόμενη σφήνα

Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Re: Ελεγχόμενη σφήνα

Μέλη σε σύνδεση