Ποσοστό κάλυψης

KARKAR · #1

: Ποσοστό κάλυψης.png (6.9 KiB) Προβλήθηκε 1586 φορές

Στο $a\times b$ , ορθογώνιο ABCD

, τα σημεία S ,T

είναι οι προβολές των κορυφών C , A

στην διαγώνιο

.

α) Αν : a=2b

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(ASCT)}{(ABCD)}$ . β) Μπορείτε να κάνετε το ίδιο για οποιαδήποτε

και

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 27, 2025 6:26 pm
Ποσοστό κάλυψης.pngΣτο $a\times b$ , ορθογώνιο , τα σημεία είναι οι προβολές των κορυφών στην διαγώνιο .

α) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(ASCT)}{(ABCD)}$ . β) Μπορείτε να κάνετε το ίδιο για οποιαδήποτε και ;

Υποθέτω ότι a > b

Θέτω : $x = DT = SB\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,h = AT = CS$ . Από Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle ABD$ έχω , ${b^2} = x\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Από Π. Θ. στο $\vartriangle TDA$ , ${h^2} = {b^2} - {x^2} = {b^2} - \dfrac{{{b^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$ και έτσι, $\boxed{h = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\,\,\left( 2 \right)$

Δείτε τώρα ότι τα τέσσερα μη χρωματιστά τρίγωνα είναι ίσου εμβαδού μεταξύ τους ( ίσες βάσεις και ίσα ύψη)

: Ποσοστό κάλυψης.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 1561 φορές

Συνολικά λοιπόν έχουν εμβαδόν λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ , ${E_1} = 2xh = \dfrac{{2a{b^3}}}{{{a^2} + {b^2}}}$ και συνεπώς το $\left( {ASCT} \right) = ab - \dfrac{{2a{b^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} = ab\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$ .

Προφανώς λοιπόν : $k = \dfrac{{\left( {ASTC} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$ που αν a = 2b

έχω , $k = \dfrac{3}{5}$ ενώ για κάθε διαφορετικά, θετικά $a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ , $\boxed{k = \dfrac{{|{a^2} - {b^2}|}}{{{a^2} + {b^2}}}}$

Παρατήρηση
Αν το συμμετρικό του ως προς τη ευθεία το εμβαδόν του πλάγιου παραλληλογράμμου είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου

με διαστάσεις , $h\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = DB - 2x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} - \dfrac{{2{b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ κ. λ. π.

: Ποσοστό κάλυψης_new.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 1549 φορές

KARKAR · #3

: Ποσοστό κάλυψης.png (11.6 KiB) Προβλήθηκε 1525 φορές

Μπορούμε να συντομεύσουμε κάπως την λύση με τις εξής παρατηρήσεις : Λόγω συμμετρίας ζητώ το : $\dfrac{(AST)}{(ABD)}$ .

Επειδή : $BD\cdot h=a\cdot b$ , είναι : $h=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Επειδή : $b^2=x\cdot DB$ , είναι : $x=\dfrac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Συνεπώς : $y=BD-2x=\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Αλλά : $\dfrac{(AST)}{(ABD)}=\dfrac{yh}{ab}=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2} , a>b$ .

mathematica.gr

Ποσοστό κάλυψης

Ποσοστό κάλυψης

Re: Ποσοστό κάλυψης

Re: Ποσοστό κάλυψης

Μέλη σε σύνδεση