Καραμέλες

[socrates]

Μια παρέα 10 φίλων έχει μια σακούλα με καραμέλες. Πρώτος ο Γιώργος παίρνει το 1/4 από τις καραμέλες που έχει η σακούλα. Έπειτα ο Κώστας παίρνει 30 καραμέλες από τη σακούλα και στη συνέχεια ο Δημήτρης παίρνει το 10% από τις καραμέλες που έμειναν στη σακούλα. Οι υπόλοιποι επτά φίλοι μοιράστηκαν εξίσου τις υπόλοιπες καραμέλες. Αν αρχικά η σακούλα περιείχε λιγότερες από 500 καραμέλες και κάθε μέλος της παρέας πήρε μία τουλάχιστον καραμέλα, πόσες καραμέλες περιείχε η σακούλα;

[fmak65]

Αφού οι τελευταίοι 7 φίλοι πήραν εξίσου, άρα ο αριθμός από καραμέλες που μοιράστηκαν είναι πολλαπλάσιο του 7.
Επειδή ο Δημήτρης πήρε το 10% , άφησε για τους 7 τελευταίους το 90%. Οπότε ο αριθμός που μοιράστηκαν είναι πολλαπλάσιο και του 9.
Δηλαδή οι τελευταίες καραμέλες ήταν 63 ή πολλαπλάσιο του (126,189,252,315,378,441).
Οπότε ο Δημήτρης πήρε 7 ή 14, ή 21, ή 28, ή 35, ή 42΄ή 49.
Οπότε το σύνολο , πριν πάρει ο Δημήτρης ήταν 70 ή 140 ή 210, ή 280, ή 350, ή 420, ή 490.
Πριν τον Δημήτρη πήρε ο Κώστας 30 καραμέλες. Άρα το σύνολο πριν τον Κώστα ήταν 100,170,240,310,380,450,520(απορρίπτεται ,επειδή υπερβαίνει το 500 που είναι το ανώτερο όριο για την ποσότητα των καραμελών).
Πριν τον Κώστα πήρε ο Γιώργος το 1/4 , δηλαδή άφησε τα 3/4 από τις καραμέλες. Οπότε ο Κώστας πήρε από αριθμό καραμελών πολλαπλάσιο του 3.
Από τις πιθανές ποσότητες πολλαπλάσια του 3 είναι οι 240 και 450 καραμέλες, και επειδή αυτές είναι τα 3/4 του συνόλου τελικά ήταν 320 ή 560 (απορρίπτεται ,επειδή υπερβαίνει το 500 που είναι το ανώτερο όριο για την ποσότητα των καραμελών).
Άρα οι καραμέλες ήταν 320.
Ο Γιώργος πήρε το 1/4, δηλαδή 80 καραμέλες και άφησε 240.
Ο Κώστας πήρε 30 καραμέλες και άφησε 210.
Ο Δημήτρης πήρε το 1/10, δηλαδή 21 καραμέλες και άφησε 189, και οι υπόλοιποι 7 πήραν ο καθένας 27 καραμέλες.

[Mihalis_Lambrou]

Λύση με απλή γραμμική Διοφαντική, αλλά προϋποθέτει ότι γνωρίζεις να την αντιμετωπίζεις (θέμα απλό):

Έστω το πλήθος από καραμέλες και το πλήθος από καραμέλες που πήρε έκαστος από τους τελευταίους φίλους. Τα δεδομένα της άσκησης δίνουν (άμεσο) ότι . Ισοδύναμα

.

Στην πραγματικότητα μας συμφέρει να μην κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς στην προηγούμενη παράσταση αλλά να αφήσουμε τους συντελεστές ως γινόμενα για να μας διευκολύνει στα παρακάτω. Θα έχει την μορφή



Μία λύση είναι η (παρακάτω εξηγώ ένα τέχνασμα να την μαντέψουμε χωρίς πολλές δοκιμές αν και στην μορφή (*) που έγραψα την εξίσωση, το θέμα είναι έτσι και αλλιώς απλό).

Άρα η γενική λύση είναι . Και λοιπά (τελικά επιλέγουμε και ξαναβρίσκουμε την λύση του Φώτη).

Σχόλιο: Ένας τρόπος να μαντέψουμε την αρχική λύση είναι από το ίδιο το πρόβλημα: Στο σημείο που λέει "Πρώτος ο Γιώργος παίρνει το 1/4 από τις καραμέλες που έχει η σακούλα. Έπειτα ο Κώστας παίρνει 30 καραμέλες από τη σακούλα και στη συνέχεια ... φροντίζουμε ο Κώστα να αδειάσει την σακούλα - να μην αφήσει τίποτα στους επόμενους. Αφού το είναι κατά το πρόβλημα τα της σακούλας, έπεται ότι η σακούλα έχει καραμέλες. Με άλλα λόγια και, αφού οι άλλοι δεν πήραν τίποτα, . Και λοιπά.