Παίζοντας με αριθμούς

Al.Koutsouridis · #1

Στον πίνακα είναι γραμμένοι

αριθμοί:

. Με αυτούς μπορούμε να κάνουμε πράξεις δυο ειδών: είτε από οποιουσδήποτε εννιά από αυτούς να αφαιρέσουμε το

και στον εναπομείναντα να προσθέσουμε το

, είτε το αντίθετο, από έναν από αυτούς να αφαιρέσουμε το

και στους υπόλοιπους να προσθέσουμε το

. Επιπλέον δεν επιτρέπεται να προκύψουν αρνητικοί αριθμοί. Μπορεί άραγε, εφαρμόζοντας κάμποσες τέτοιες πράξεις, να κάνουμε όλους τους δέκα αριθμούς διαφορετικούς μεταξύ τους;

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

Θεωρούμε πως υπάρχει η διαδικασία με την οποία θα προκύψουν δέκα διαφορετικοί αριθμοί .

Παρατηρούμε ότι το άθροισμα και των δέκα δεν μεταβάλλεται μετά από τις αλλαγές αφού προστίθεται και αφαιρείται το

.

Έτσι το άθροισμά τους είναι σταθερό και ίσο με 1+2+3+4+4+5+5+11+12+13=60

.

Όταν θα προκύψουν οι δέκα διαφορετικοί όλοι θα είναι μικρότεροι του

αφού οι

ελάχιστοι είναι οι 0,1,2,3,4,5,6,7,8

και έτσι ο μέγιστος 60-(0+1+2+3+4+5+6+7+8)=24

Έστω

για τους οποίους $a\equiv b(\mod10)$ τότε εύκολα $a-9\equiv b+1(\mod10)$

Έτσι θα είναι πάντα(μετά τις πράξεις) $1\equiv 11(\mod10),2\equiv 12(\mod10),3\equiv 13(\mod10),4\equiv 4(\mod10)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,5\equiv 5(\mod10)$

Έτσι αν γίνουν όλοι διαφορετικοί θα ισχύει ότι:

Αν υπάρχει ο a,a<5

θα υπάρχει και ο a+10

,ή ο

.
Αν υπάρχει ο a,10>a>4

θα υπάρχει και ο a+10

αφού

.
(

φυσικός).

Άρα το ελάχιστο άθροισμα των δέκα διαφορετικών θα είναι 0+1+2+3+4+10+11+12+13+14>60

Άρα είναι αδύνατον.

Παίζοντας με αριθμούς

Παίζοντας με αριθμούς

Re: Παίζοντας με αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση