Ελάχιστο ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Ελάχιστο ορθογώνιο.png (6.26 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Μέσα σε τετράγωνο ABCD

,πλευράς

γράψαμε τεταρτοκύκλιο ακτίνας

, επί του οποίου κινείται σημείο

.

Οι προβολές P,T

του

στις

αντίστοιχα , είναι οι άλλες δύο κορυφές του ορθογωνίου SPCT

.

Εξηγήστε γιατί όλα τα ορθογώνια αυτά "περνούν την τάξη " . Λύση χωρίς ανάλυση θα μας έλυνε τα χέρια

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 8:38 pm
Εξηγήστε γιατί όλα τα ορθογώνια αυτά "περνούν την τάξη " . Λύση χωρίς ανάλυση θα μας έλυνε τα χέρια

Την περνάνε την τάξη αλλά ούτε 13,5 δε βγάζουνε....

Προσεχώς πιο εμπεριστατωμένη προσέγγιση...

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Χριστός Ανέστη!

Εγώ καταλήγω ότι δεν την περνάν όλα την τάξη

.....

Έστω $M\equiv TS\cap AB,L\equiv SP\cap AD$

Είναι : $MS^2+LS^2=81\Leftrightarrow (10-ST)^2+(10-SP)^2=81\Leftrightarrow ST^2-20ST+SP^2-20SP+119=0$

Οπότε επειδή ST<10

είναι $ST=10-\sqrt{-SP^2+20SP-19}$

Όμως η $f(x)=x\left ( 10-\sqrt{-x^2+20x-19} \right )$ δεν παρουσιάζει ελάχιστο

( το

)

Άλλωστε το Geogebra δίνει τιμές μικρότερες του

στο εμβαδό όταν το

πλησιάζει τα Z,E

Έχω κάπου λάθος

;

#4

Πρόδρομε, ο μισός βαθμός είναι υπέρ του μαθητή..., άρα περνάνε και με 9,5

.

Με πολικές συντεταγμένες, το μέγιστο (που έγραφα παραπάνω) είναι εύκολο. Για την ώρα δεν βλέπω κάτι βολικό για το ελάχιστο (που είναι το 9,5

).

: Ελάχιστο ορθογώνιο.png (6.26 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

Έστω $\displaystyle S\left( {9\cos x,\;9\sin x} \right),\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ , οπότε $\displaystyle P\left( {10,\;9\sin x} \right),\;\;T\left( {9\cos x,\;10} \right),\;\;C\left( {10,\;10} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle \left( {SPCT} \right) = \left( {10 - 9\cos x} \right)\left( {10 - 9\sin x} \right)$

Είναι $\displaystyle \left( {10 - 9\cos x} \right)\left( {10 - 9\sin x} \right) \le \frac{{{{\left[ {\left( {10 - 9\cos x} \right) + \left( {10 - 9\sin x} \right)} \right]}^2}}}{4}$ με το ίσον όταν $\displaystyle \sin x = \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ , άρα $\displaystyle {\left( {SPCT} \right)_{\max }} = {\left( {10 - \frac{{9\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \cong 13,22$ .

Al.Koutsouridis · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 8:38 pm
Ελάχιστο ορθογώνιο.pngΜέσα σε τετράγωνο ,πλευράς γράψαμε τεταρτοκύκλιο ακτίνας , επί του οποίου κινείται σημείο .

Οι προβολές του στις αντίστοιχα , είναι οι άλλες δύο κορυφές του ορθογωνίου .

Εξηγήστε γιατί όλα τα ορθογώνια αυτά "περνούν την τάξη " . Λύση χωρίς ανάλυση θα μας έλυνε τα χέρια

Εστώ

τα τμήματα όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

: elaxisto_orthogwnio.png (16.18 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

Θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης k=(1+a)(1+b)

. Από την δύναμη σημείου ως προς το κύκλο έχουμε

$\left\{\begin{matrix} (9-b)^2=a\left ( 2 \cdot (9-a)+a \right ) \\ (9-a)^2=b\left ( 2 \cdot (9-b)+b \right ) \end{matrix}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} (9-b)^2=a\left ( 18-a \right ) \\ (9-a)^2=b\left ( 18-b \right ) \end{matrix}\right.$

προσθέτοντας κατά μέλη τις δυο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε

$81-18(a+b) +\left ( a^2+b^2) =0 \Leftrightarrow 81-18(a+b) +\left (a+b)^2-2ab =0$ $\bigstar$

Θέτουμε u=a+b

και

τότε θα έχουμε $k=(1+a)(1+b) \quad \Rightarrow k=1+u+v \Rightarrow v=k-u-1$

Η εξίσωση $\bigstar$ τότε γίνεται

$81-18u+v^2-2(k-1-u) = 0 \quad \Rightarrow \quad u^2-16u+83-2k =0$

Η εξίσωση αυτή πρέπει να έχει λύσεις. Οπότε η διακρίνουσά της θα πρέπει να είναι μη αρνητική. Άρα θα έχουμε

$D=16^2-4(83-2k) \geq 0 \quad \Rightarrow -76 +8k \geq 0 \quad \Rightarrow \quad k \geq 9,5$ .

#6

Καλημέρα σε όλους. Η τριγωνομετρική προσέγγιση δεν με οδηγεί κάπου. Χρησιμοποιώ μια μέθοδο που μοιάζει κάπως με αυτήν του Αλέξανδρου, αποφεύγοντας την Ανάλυση.

: 31-05-2019 Γεωμετρία.png (29.56 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

Έστω

σημείο του τεταρτοκυκλίου $\displaystyle {\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 81$ με $\displaystyle x,\;y > 0$ .

Τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου APSQ

είναι ίσο με

.

Ζητάμε το ελάχιστο του γινομένου

με τη συνθήκη $\displaystyle {\left( {a - 10} \right)^2} + {\left( {b - 10} \right)^2} = 81,\;\;a,b > 0$

Έστω $\displaystyle ab = t \Leftrightarrow \frac{t}{a}$ , οπότε $\displaystyle {\left( {a - 10} \right)^2} + {\left( {\frac{t}{a} - 10} \right)^2} = 81$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {\frac{t}{a}} \right)^2} - 20\left( {a + \frac{t}{a}} \right) + 119 = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {a + \frac{t}{a}} \right)^2} - 20\left( {a + \frac{t}{a}} \right) + 119 - 2t = 0$

Θέλουμε η εξίσωση να έχει ρίζα, με ικανή και αναγκαία συνθήκη $\displaystyle D \ge 0 \Leftrightarrow 400 \ge 4\left( {119 - 2t} \right) \Leftrightarrow t \ge 9,5$

με το ίσον όταν $\displaystyle a + \frac{t}{a} = 10 \Leftrightarrow a + b = 10$ , δηλαδή όταν

$\displaystyle {\left( {a - 10} \right)^2} + {a^2} = 81 \Leftrightarrow 2{a^2} - 20a + 19 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{10 \pm \sqrt {62} }}{2}$

edit: Διόρθωση φοράς ανισότητας με τη διακριτική υπόδειξη του Θανάση.

#7

Νομίζω ότι ο πιο εύκολος τρόπος υπολογισμού του εμβαδού, είναι αυτός του Πρόδρομου. Αν όλα περνούν τη βάση θα πρέπει

$\displaystyle f(x) > 10,$ για κάθε $\displaystyle x \in (1,10).$ Αντιθέτως, αν δεν περνούν όλα τη βάση, θα υπάρχει $\displaystyle x \in (1,10),$ ώστε $\displaystyle f(x) < 10.$

$\displaystyle f(x) < 10 \Leftrightarrow x\left( {10 - \sqrt {81 - {{(10 - x)}^2}} } \right) < 10 \Leftrightarrow 10x - x\sqrt {(x - 1)(19 - x)} < 10 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 100{(x - 1)^2} < {x^2}(x - 1)(19 - x)\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 1} 100x - 100 < 19{x^2} - {x^3} \Leftrightarrow$

$\displaystyle (x - 10)({x^2} - 9x + 10) < 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x < 10} {x^2} - 9x + 10 > 0,$ που έχει λύση στο (1,10).

Άρα δεν περνούν όλα τη βάση.

KARKAR · #8

Γιώργο η εκφώνηση λέει ότι "περνούν την τάξη" και όχι περνούν τη βάση . Αλλά για να περάσει

κανείς την τάξη , αρκεί να πάρει βαθμό $\geq 9.5$ και όχι απαραίτητα $\geq 10$

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 31, 2019 1:11 pm
Γιώργο η εκφώνηση λέει ότι "περνούν την τάξη" και όχι περνούν τη βάση . Αλλά για να περάσει

κανείς την τάξη , αρκεί να πάρει βαθμό $\geq 9.5$ και όχι απαραίτητα $\geq 10$

Προφανώς, έλυσα άλλη άσκηση

κι αυτό γιατί δεν μπορούσα να βρω ελάχιστη τιμή με ύλη Θαλή-Ευκλείδη Juniors.

Ελάχιστο ορθογώνιο

Ελάχιστο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση