Συνδρομή

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συνδρομή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 08, 2019 12:10 pm

Συνδρομή.png
Συνδρομή.png (8.2 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές
Το ABCD είναι ορθογώνιο , ενώ τα BEFC , DCHZ είναι τετράγωνα .

Δείξτε ότι οι ευθείες AC , EH , FZ συντρέχουν  \left{(} S το κοινό τους σημείο \right{)} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συνδρομή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Αύγ 08, 2019 12:59 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:10 pm
Συνδρομή.pngΤο ABCD είναι ορθογώνιο , ενώ τα BEFC , DCHZ είναι τετράγωνα .

Δείξτε ότι οι ευθείες AC , EH , FZ συντρέχουν  \left{(} S το κοινό τους σημείο \right{)} .
Καλημέρα

Έστω AD=a ,DC=b

Είναι \dfrac{FE}{AE}=\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{BE}{BH}\Leftrightarrow \overset{\bigtriangleup }{BHE}\sim \overset{\bigtriangleup }{AFE}\Leftrightarrow \angle EAF=\angle BHE\Leftrightarrow AF\perp HE

\dfrac{ZH}{ZA}=\dfrac{b}{b+a}=\dfrac{DZ}{DF}\Leftrightarrow \overset{\bigtriangleup }{AZH}\sim \overset{\bigtriangleup }{DZF}\Leftrightarrow \angle ZAH=\angle ZFD\Leftrightarrow AH\perp ZF

Τέλος έχουμε \dfrac{CF}{CH}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{CB}{AB}\Leftrightarrow \angle CHF=\angle BAC\Leftrightarrow AC\perp HF

Άρα συντρέχουν (S ορθόκεντρο του AHF)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8207
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνδρομή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 08, 2019 2:40 pm

Εκτός φακέλου.
Vecten.II..png
Vecten.II..png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές
Απ' το θεώρημα του \displaystyle {\rm{Vecten}} οι HE, FZ τέμνονται πάνω στο ύψος CK του τριγώνου CFH το οποίο

αποδεικνύεται ότι διέρχεται από το A (αφού από το ίδιο θεώρημα διέρχεται από το μέσο του BD).
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Αύγ 08, 2019 5:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8207
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνδρομή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 08, 2019 2:51 pm

Γενίκευση για πλάγιο παραλληλόγραμμο ABCD.
Γενίκευση V.png
Γενίκευση V.png (53.95 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6613
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνδρομή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 08, 2019 6:26 pm

Παρεμφερής λύση με του νεαρού Φωτιάδη,

Αν T το σημείο τομής των ZH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EF τότε:

1. Το τετράπλευρο AETZ είναι τετράγωνο

2. \left\{ \begin{gathered} 
	  \vartriangle ABC = \vartriangle HCF \hfill \\ 
	  \vartriangle AEF = \vartriangle ETH \hfill \\ 
	  \vartriangle AZH = \vartriangle ZTF \hfill \\  
	\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
	  AC \bot  = HF \hfill \\ 
	  AF \bot  = HE \hfill \\ 
	  AH \bot  = ZF \hfill \\  
	\end{gathered}  \right.
Συνδρομή.png
Συνδρομή.png (18.81 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Δηλαδή το σημείο τομής F των HE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZF είναι ορθόκεντρο του τριγώνου

AFH οπότε αναγκαστικά η AC θα διέρχεται απ’ αυτό .


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Συνδρομή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Αύγ 08, 2019 9:57 pm

Καλησπέρα. Να ρωτήσω επειδή δεν έχω ιδέα για το ποια είναι η επιτρεπτή ύλη για αυτόν τον φάκελο.Η αναλυτική γεωμετρία είναι επιτρεπτή; Για παράδειγμα αυτή η άσκηση νομίζω λύνεται πολύ εύκολα με συντεταγμένες διανύσματος και εσωτερικό γινόμενο. Υποθέτω πως δεν επιτρέπεται αλλά ας το σιγουρέψω.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6613
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνδρομή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 08, 2019 10:52 pm

angvl έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 9:57 pm
Καλησπέρα. Να ρωτήσω επειδή δεν έχω ιδέα για το ποια είναι η επιτρεπτή ύλη για αυτόν τον φάκελο.Η αναλυτική γεωμετρία είναι επιτρεπτή; Για παράδειγμα αυτή η άσκηση νομίζω λύνεται πολύ εύκολα με συντεταγμένες διανύσματος και εσωτερικό γινόμενο. Υποθέτω πως δεν επιτρέπεται αλλά ας το σιγουρέψω.
Συνήθως μπορούμε να γράφουμε τη λύση μας αναφέροντας ότι είναι εκτός φακέλου .


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Συνδρομή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Αύγ 08, 2019 10:57 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 10:52 pm
angvl έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 9:57 pm
Καλησπέρα. Να ρωτήσω επειδή δεν έχω ιδέα για το ποια είναι η επιτρεπτή ύλη για αυτόν τον φάκελο.Η αναλυτική γεωμετρία είναι επιτρεπτή; Για παράδειγμα αυτή η άσκηση νομίζω λύνεται πολύ εύκολα με συντεταγμένες διανύσματος και εσωτερικό γινόμενο. Υποθέτω πως δεν επιτρέπεται αλλά ας το σιγουρέψω.
Συνήθως μπορούμε να γράφουμε τη λύση μας αναφέροντας ότι είναι εκτός φακέλου .
Ευχαριστώ πολύ!


Καλό Καλοκαίρι!
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1628
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνδρομή

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Αύγ 09, 2019 2:00 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:10 pm
Συνδρομή.pngΤο ABCD είναι ορθογώνιο , ενώ τα BEFC , DCHZ είναι τετράγωνα .

Δείξτε ότι οι ευθείες AC , EH , FZ συντρέχουν  \left{(} S το κοινό τους σημείο \right{)} .

Έστω \displaystyle ZF \cap HE = S ,\displaystyle HF \cap AE = L , \displaystyle DC \cap HA = K ,\displaystyle HC \cap ZF = P, \displaystyle HE \cap CF = Q,\displaystyle CS \cap HF = M

Ισχύει, \displaystyle \frac{{KC}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{BL}} \Rightarrow \frac{{KC}}{{CH}} = \frac{{CB}}{{BL}} \Rightarrow \vartriangle HKC \simeq \vartriangle CBL \Rightarrow \angle KHC = \angle CLB \Rightarrow LC \bot HA

Άρα, \displaystyle C ορθόκεντρο του \displaystyle \vartriangle AHL \Rightarrow AC \bot HL.

Με CEVA έχουμε \displaystyle \frac{{HP}}{{PC}} \cdot \frac{{CQ}}{{QF}} \cdot \frac{{MF}}{{MH}} = 1 \Rightarrow \frac{{ZH}}{{CF}} \cdot \frac{{HC}}{{FE}} \cdot \frac{{MF}}{{MH}} = 1 \Rightarrow \frac{{MF}}{{MH}} = \frac{{C{F^2}}}{{H{C^2}}} \Rightarrow CS \bot HF

Έτσι, \displaystyle A,C,S συνευθειακά και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Συνδρομή.png
Συνδρομή.png (29.54 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνδρομή

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Αύγ 09, 2019 9:52 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:10 pm
Το ABCD είναι ορθογώνιο , ενώ τα BEFC , DCHZ είναι τετράγωνα .

Δείξτε ότι οι ευθείες AC , EH , FZ συντρέχουν  \left{(} S το κοινό τους σημείο \right{)} .
Αξίζουν μερικά ιστορικά σχόλια για το συγκεκριμένο θεώρημα, το οποίο ήταν γνωστό (και μάλιστα σε γενικότερη μορφή) στον Ήρωνα τον Αλεξανδρέα την αρχαιότητα.

Τα παρακάτω είναι παρμένα (αλλά πάρα πολύ περιληπτικά) από ομιλία με τίτλο "Ξεχαμένα θεωρήματα από τα αρχαία ελληνική Γεωμετρία" που έκανα πέρσι το καλοκαίρι στο διήμερο Γεωμετρίας στο Ηράκλειο και επανέλαβα τον Ιούνιο φέτος στην Αθήνα ως προσκεκλημένος της ΕΠΕΔΙΜ.

Με λίγα λόγια, το (γενικότερο) θεώρημα υπάρχει στο χαμένο σήμερα έργο του Ήρωνα με τίτλο "Υπόμνημα στα Στοιχεία του Ευκλείδη". Αν και το έργο είναι κυρίως χαμένο, σώζεται ένα πολύ μικρό τμήμα του, όπου και το συγκεκριμένο θεώρημα, από τον Άραβα γεωμέτρη του 11ο αιώνα, An-Nayrizi (γνωστότερου στην Δύση ως Anaritius), στο δικό του "Υπόμνημα στα Στοιχεία του Ευκλείδη". Από εκεί το πήρε ο Albertus Magnus (1193-1280) ο οποίος το συμπεριέλαβε, στα λατινικά, στο ένα και μοναδικό χειρόγραφο των δικών του Σχολίων στα Στοιχεία, το οποίο σώζεται στην Βιέννη.

Ο Ήρων χρησιμοποίησε το θεώρημα αυτό για να αποδείξει το λεγόμενο σήμερα Θεώρημα Vecten, για την περίπτωση του το βασικό τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Με άλλα λόγια, συμπληρώνει μία ιδιότητα στο στάνταρ σχήμα που υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη όπου δίνεται η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος (α' 47).

Η απόδειξη που δίνει ο Ήρων για το παραπάνω θεώρημα, όπως την αναπαράγει ο An-Nayrizi και ο Albertus Magnus, είναι καταπληκτική και ουσιωδώς διαφορετική από τις αποδείξεις που έγραψαν οι έγκριτοι συνάδελφοι παραπάνω. Αν βρω ευκαιρία θα την γράψω εδώ. Υπομονή γιατί αυτό τον καιρό έχω πολύ φόρτο εργασίας. Παρακάτω δίνω το σχήμα (αλλά όχι τα λόγια) της απόδειξής του, το οποίο παραθέτω copy-paste από την εν λόγω ομιλία μου.
Συνημμένα
Ηρων ξεχασμένο.pdf
(76.93 KiB) Μεταφορτώθηκε 24 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης