Σελίδα 1 από 1

Ώρα συνεφαπτομένης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 24, 2019 2:00 pm
από KARKAR
Ώρα  συνεφαπτομένης.png
Ώρα συνεφαπτομένης.png (5.75 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=AC , "εγγράψαμε" το τετράγωνο KLMN ,

το οποίο καταλαμβάνει το 48\% της επιφανείας του . Υπολογίστε την \cot\hat{A} .

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 24, 2019 5:00 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Τρί Σεπ 24, 2019 2:00 pm
Ώρα συνεφαπτομένης.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=AC , "εγγράψαμε" το τετράγωνο KLMN ,

το οποίο καταλαμβάνει το 48\% της επιφανείας του . Υπολογίστε την \cot\hat{A} .
Μία εκτός φακέλου (έτσι κι αλλιώς η άσκηση είναι εκτός φακέλου). Έστω x η πλευρά του τετραγώνου και h_a το ύψος στη βάση του ισοσκελούς.
cot.png
cot.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές


\displaystyle \frac{{LM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{x}{{{h_a}}} = \frac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow \boxed{{h_a} = \frac{{ax}}{{a - x}}} (1)

\displaystyle {x^2} = \frac{{48}}{{100}}(ABC) = \frac{6}{{25}}a{h_a}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} {x^2} = \frac{{6{a^2}x}}{{25(a - x)}} \Leftrightarrow 25{x^2} - 25ax + 6{a^2} \Leftrightarrow x = \frac{{3a}}{5} \vee x = \frac{{2a}}{5}

\displaystyle  \bullet Για x = \dfrac{3a}{5}, (Σχ.1), τότε \displaystyle {h_a} = \frac{{3a}}{2} και \displaystyle \cot \theta  = \frac{{2{h_a}}}{a} = 3 \Rightarrow \cot A = \frac{{9 - 1}}{6} \Leftrightarrow \boxed{\cot A = \frac{4}{3}}

\displaystyle  \bullet Για x = \dfrac{2a}{5}, (Σχ.2), τότε \displaystyle {h_a} = \frac{{2a}}{3} και \displaystyle \cot \theta  = \frac{{2{h_a}}}{a} = \frac{4}{3} \Rightarrow \cot A = \frac{{\frac{{16}}{9} - 1}}{{\frac{8}{3}}} \Leftrightarrow \boxed{\cot A = \frac{7}{{24}}}


Χρησιμοποιήθηκε ο τύπος: \displaystyle \cot 2a = \frac{{{{\cot }^2}a - 1}}{{2\cot a}}

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 15, 2019 1:50 pm
από KARKAR
Ας δούμε την πρώτη από τις δύο λύσεις του Γιώργου .
cotA.png
cotA.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές
Φέρουμε το ύψος BD . Χρειαζόμαστε μόνον το : cot\hat{A}=\dfrac{AD}{BD} . Από την ομοιότητα

των τριγώνων AMC , BDC και αν CD=x , προκύπτει BD=3x .

Με πυθαγόρειο θεώρημα , βρίσκουμε : AC=\dfrac{a\sqrt{10}}{2} και x=\dfrac{a\sqrt{10}}{10} , οπότε :

AD=\dfrac{4a\sqrt{10}}{10} , BD=\dfrac{3a\sqrt{10}}{10} , συνεπώς : cot\hat{A}=\dfrac{4}{3} .