Θέση μεγίστου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλησπέρα.
Ας θεωρήσουμε την παράσταση $\Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx}$ όπου τα a,b

είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί

ενώ το

μεταβάλλεται στο διάστημα $\left ( 0 ,\pi \right )$ .

Να βρεθεί η τιμή του

που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση $\Pi \left ( x \right )$ .
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 16, 2019 7:39 pm
Καλησπέρα.
Ας θεωρήσουμε την παράσταση $\Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx}$ όπου τα είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί

ενώ το μεταβάλλεται στο διάστημα $\left ( 0 ,\pi \right )$ .

Να βρεθεί η τιμή του που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση $\Pi \left ( x \right )$ .
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Για

στο διάστημα $\left ( 0 ,\pi \right )$

είναι $1\geq \sin x> 0$
Ετσι

$\dfrac{a\cdot sinx}{b+\sin x}\leq a \dfrac{b+ \sin x- b}{b+sinx}\leq a(1-\dfrac{b}{b+\sin x}) \leq \dfrac{ab}{b+1}$

με ισότητα για

$\sin x=1$
συμπλήρωμα.Εβαλα το ημίτονο που έλειπε.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Δυο ακόμα απαντήσεις στο πρόβλημα του Γιώργου.

Λήμμα(τάκι)

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right):\;\;A \to \left( {0,\; + \infty } \right)$ παρουσιάζει μέγιστο στο $\displaystyle {x_0} \in A$ , όταν η $\displaystyle \frac{1}{{f\left( x \right)}}$ παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle {x_0} \in A$ .

Απόδειξη:
Έστω ότι η $\displaystyle \frac{1}{{f\left( x \right)}}$ παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle {x_0} \in A$ , οπότε
$\displaystyle \forall x \in A \;\; \frac{1}{{f\left( x \right)}} \ge \frac{1}{{f\left( {{x_0}} \right)}} \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( {{x_0}} \right)$ , άρα η $\displaystyle f\left( x \right)$ παρουσιάζει μέγιστο στο $\displaystyle {x_0} \in A$ .

1η λύση:

Η συνάρτηση $\displaystyle \Pi \left( x \right) = \frac{{a\cdotsinx}}{{b + sinx}},\;\;x \in \left( {0,\;\pi } \right)$ παρουσιάζει μέγιστο, όταν η συνάρτηση $\displaystyle \frac{1}{{\Pi \left( x \right)}} = \frac{{b + sinx}}{{a\cdotsinx}},\;\;x \in \left( {0,\;\pi } \right)$ παρουσιάζει ελάχιστο.

Είναι $\displaystyle \frac{{b + sinx}}{{a\cdotsinx}} = \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{{sinx}} + \frac{1}{a} \ge \frac{{b + 1}}{a}$ , με το ίσον όταν $\displaystyle x = \frac{\pi }{2}$ .

2η λύση:
Η συνάρτηση $\displaystyle \Pi \left( x \right) = \frac{{a\cdotsinx}}{{b + sinx}},\;\;x \in \left( {0,\;\pi } \right)$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle \Pi '\left( x \right) = \frac{{a\cdotb\cos x}}{{{{\left( {b + sinx} \right)}^2}}},\;\;x \in \left( {0,\;\pi } \right)$ .
Με πίνακα προσήμων της παραγώγου της, εύκολα, βλέπουμε ότι έχει μέγιστο όταν $\displaystyle x = \frac{\pi }{2}$ .

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 16, 2019 7:39 pm
Καλησπέρα.
Ας θεωρήσουμε την παράσταση $\Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx}$ όπου τα είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί

ενώ το μεταβάλλεται στο διάστημα $\left ( 0 ,\pi \right )$ .

Να βρεθεί η τιμή του που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση $\Pi \left ( x \right )$ .
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους!

Θέτω $\displaystyle y = \frac{{a\sin x}}{{b + \sin x}} \Leftrightarrow \sin x = \frac{{by}}{{a - y}}, y\ne a$ (*) κι επειδή $\displaystyle 0 < \sin x \le 1,$ θα είναι

$\displaystyle 0 < \frac{{by}}{{a - y}} \le 1 \Rightarrow 0 < y < a$ και $\displaystyle by \le a - y \Leftrightarrow y \le \frac{a}{{b + 1}}$ με την ισότητα να επιτυγχάνεται για $\displaystyle x = \frac{\pi }{2}$

(*) Αν y=a,

τότε

ή

που είναι άτοπο αφού a, b>0.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα! Σταύρο και Γιώργηδες σας ευχαριστώ για την κάλυψη του θέματος. Παρόμοια λύση, συνοπτικά

Θέτω $sinx=y ... 0< y\leq 1$ . Η $\dfrac{ay}{b+y}$ γίνεται μέγιστη στο μέγιστο της $\dfrac{y}{b+y}$ κι' αυτή στο ελάχιστο της $\dfrac{b+y}{y}=\dfrac{b}{y}+1$

δηλ. όταν το sinx=y

γίνεται μέγιστο , άρα για $x=\dfrac{\pi }{2}$ .

Το παρόν ''εμφανίστηκε'' για την υποστήριξη άλλου θέματος.Φιλικά , Γιώργος

Θέση μεγίστου

Θέση μεγίστου

Re: Θέση μεγίστου

Re: Θέση μεγίστου

Re: Θέση μεγίστου

Re: Θέση μεγίστου

Μέλη σε σύνδεση