Στο κυνήγι της ορθότητας

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11376
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Στο κυνήγι της ορθότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 30, 2019 9:28 pm

Στο κυνήγι της  ορθότητας.png
Στο κυνήγι της ορθότητας.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
Κύκλος (K , r) , ο οποίος διέρχεται από τις κορυφές B,C , του - πλευράς a -

τετραγώνου ABCD , τέμνει την προέκταση της διαγωνίου AC στο σημείο S .

Βρείτε την ακτίνα r του κύκλου , αν : SD\perp SK .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8971
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στο κυνήγι της ορθότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 01, 2019 10:14 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 30, 2019 9:28 pm
Στο κυνήγι της ορθότητας.pngΚύκλος (K , r) , ο οποίος διέρχεται από τις κορυφές B,C , του - πλευράς a -

τετραγώνου ABCD , τέμνει την προέκταση της διαγωνίου AC στο σημείο S .

Βρείτε την ακτίνα r του κύκλου , αν : SD\perp SK .
Εκτός φακέλου. Έστω CS=x.
Στο κυνήγι της ορθότητας.Κ.png
Στο κυνήγι της ορθότητας.Κ.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές
\displaystyle D{S^2} = DC \cdot DD' = AB \cdot AA' = AC \cdot AS = a\sqrt 2 (a\sqrt 2  + x) \Leftrightarrow D{S^2} = 2{a^2} + ax\sqrt 2

Ν. συνημιτόνου στο DAS: \displaystyle 2{a^2} + ax\sqrt 2  = {a^2} + {(a\sqrt 2  + x)^2} - a(a\sqrt 2  + x)\sqrt 2  \Leftrightarrow \boxed{x=a}

Εύκολα τώρα \displaystyle S\widehat KC = 45^\circ και με ν.συνημιτόνου στο SKC, \displaystyle {a^2} = 2{r^2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \Leftrightarrow \boxed{ r = \frac{a}{2}\sqrt {4 + 2\sqrt 2 }}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7040
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Στο κυνήγι της ορθότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 02, 2019 9:52 am

Ανάλυση .

Επειδή η SC είναι μεσοκάθετος στο DB θα είναι \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} .

Αλλά \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _{}}} ( χορδής κι εφαπτομένης) , οπότε : \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _2}} \Leftrightarrow SC = SB = a.

Κατασκευή.
Στο κυνήγι της ορθότητας_ok.png
Στο κυνήγι της ορθότητας_ok.png (25.43 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές
Γράφω τον κύκλο (C,a) που η AC τον τέμνει –εκτός τετραγώνου- στο σημείο S. Ο κύκλος \left( {S,C,B} \right) είναι ο ζητούμενος.

Υπολογισμός.

Στο ισοσκελές τρίγωνο CDS είναι \widehat {SCD} = 90^\circ  + 45^\circ άρα \widehat {{\theta _1}} = 22,5^\circ  \Rightarrow \widehat {{K_{}}} = 2\widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ

Από το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle KCS έχω : {a^2} = 2{R^2} - {R^2}\sqrt 2  \Rightarrow \boxed{R = \frac{a}{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης