Σελίδα 1 από 1

Ακέραια Εμβαδά

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 12:53 pm
από george visvikis
:mathexmastree: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ :santalogo:
Ακέραια εμβαδά.png
Ακέραια εμβαδά.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές
Το εμβαδόν του τετραγώνου ABCD είναι τετραψήφιος ακέραιος αριθμός της μορφής \displaystyle \overline {xyxy} . Με διάμετρο την AB

γράφουμε ημικύκλιο και από το C φέρνουμε την εφαπτομένη που τέμνει την AD στο E. Να υπολογίσετε το εμβαδόν

του ABCE αν γνωρίζετε ότι η αριθμητική του τιμή είναι ακέραιος πολλαπλάσιος του 4 αλλά όχι του 8.

Re: Ακέραια Εμβαδά

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 4:22 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 31, 2019 12:53 pm
:mathexmastree: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ :santalogo:

Ακέραια εμβαδά.png
Το εμβαδόν του τετραγώνου ABCD είναι τετραψήφιος ακέραιος αριθμός της μορφής \displaystyle \overline {xyxy} . Με διάμετρο την AB

γράφουμε ημικύκλιο και από το C φέρνουμε την εφαπτομένη που τέμνει την AD στο E. Να υπολογίσετε το εμβαδόν

του ABCE αν γνωρίζετε ότι η αριθμητική του τιμή είναι ακέραιος πολλαπλάσιος του 4 αλλά όχι του 8.
Έστω a η πλευρά του τετραγώνου και O το μέσο του BC.
Είναι \overline{xyxy}=101\left ( 10x+y \right )=a^2.Έστω L το σημείο επαφής του ημικυκλίου με την CE.
Οι OC,OL είναι διχοτόμοι των \angle BOL,\angle AOL αντίστοιχα άρα \angle EOC =90^{\circ}.Είναι LO^2=LC\cdot LE\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{4}=a\cdot LE\Leftrightarrow LE=\dfrac{a}{4},CE=\dfrac{5}{4}a
\left ( ABCE \right )=\dfrac{EA+a}{2}\cdot a=\dfrac{EL+LC}{2}\cdot a=\dfrac{5}{8}a^2=\dfrac{5\cdot 101\left ( 10x+y \right )}{8}
Πρέπει το εμβαδό να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 4 αλλά όχι του 8,άρα το (10x+y) πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 32 αλλά όχι του 64.Δυνατές τιμές οι 10x+y=32 που δίνει (ABCE)=2020 και 10+y=3\cdot 32=96 που δίνει (ABCE)=6060

Re: Ακέραια Εμβαδά

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 8:00 pm
από george visvikis
Σ' ευχαριστώ Πρόδρομε για τη λύση και εύχομαι, σε σένα και στην οικογένειά σου, Ευτυχισμένο το 2020!

Προφανώς στην άσκηση έγινε κακή εκτίμηση στη βιασύνη μου να είναι εμπρόθεσμη (μέσα στο 2019). Ήθελα να μείνει μόνο το 2020, αλλά ξέχασα να γράψω ότι το ζητούμενο εμβαδόν δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 ;)