Μελάνι στο επίπεδο

[qwerty]

Σ' ένα άσπρο επίπεδο χύνεται μαύρη μελάνη. Η μελάνη πέφτει σε τυχαία σημεία του επιπέδου αυτού. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο Ν, υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα μήκους Ν, το οποίο έχει άκρα ίδιου χρώματος.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Σ' ένα άσπρο επίπεδο χύνεται μαύρη μελάνη. Η μελάνη πέφτει σε τυχαία σημεία του επιπέδου αυτού. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο Ν, υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα μήκους Ν, το οποίο έχει άκρα ίδιου χρώματος.

Δεν βλέπω πού χρειάζεται ότι ακέραιος : Με κέντρο ένα λευκό σημείο (αν δεν υπάρχουν λευκά τότε το ζητούμενο είναι προφανές) γράφουμε κύκλο ακτίνας .Αν σε αυτό τον κύκλο υπάρχει λευκό σημείο τότε τελειώσαμε.Αν όχι τότε με κέντρο ένα τυχαίο σημείο του κύκλου γράφουμε κύκλο ακτίνας ο οποίος πρέπει να τέμνει τον πρώτο σε δύο σημεία.Έτσι δημιουργήσαμε τμήμα μήκους με άκρα μαύρα σημεία (οι κοινές χορδές των δύο κύκλων).

[Mihalis_Lambrou]

Πιο απλά, αλλά ουσιαστικά το ίδιο με του Πρόδρομου:

Γράφω ισόπλερο τρίγωνο πλευρά (ακέραιο ή μη). Τότε, προφανώς, κάποιες δύο κορυφές του είναι ομοιόχρωμες.

Μάλλον κάτι έλλο θέλεις να ρωτήσεις.

[qwerty]

Πιο απλά, αλλά ουσιαστικά το ίδιο με του Πρόδρομου:

Γράφω ισόπλερο τρίγωνο πλευρά (ακέραιο ή μη). Τότε, προφανώς, κάποιες δύο κορυφές του είναι ομοιόχρωμες.

Μάλλον κάτι έλλο θέλεις να ρωτήσεις.

Όχι, αυτή είναι η άσκηση και αυτή είναι η επίσημη λύση που δόθηκε, λογικά από την επιτροπή του διαγωνισμού.
Δεν είναι δύσκολο πρόβλημα. Εφαρμογή της αρχής του περιστερώνα.

Τώρα για τον Ν ακέραιος έτσι ήταν διατυπωμένο το πρόβλημα εκεί απ όπου το πήρα (εκτός κ αν έκανα εγώ λάθος μετάφραση). Θα μπορούσε να πει ευθύγραμμο τμήμα οποιουδήποτε μήκους.

[Mihalis_Lambrou]

Εφαρμογή της αρχής του περιστερώνα.

Μην κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Δεν χρειάζεται Αρχή του Περιστερώνα για να αποφανθούμε ότι από τρία σημεία βαμμένα με δύο χρώματα τότε κάποια δύο είναι ομοιόχρωμα.

Ας δούμε μία απόδειξη, αν και περιττεύει:

Αν υπάρχουν δύο ή παραπάνω άσπρα, τελειώσαμε. Αλλιώς έχουμε ένα (ή κανένα) άσπρο. Τότε τα άλλα δύο (ή τρία) είναι μαύρα. Τελειώσαμε.

Από ποιον διαγωνισμό είναι η άσκηση;

[sot arm]

Εφαρμογή της αρχής του περιστερώνα.

Μην κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Δεν χρειάζεται Αρχή του Περιστερώνα για να αποφανθούμε ότι από τρία σημεία βαμμένα με δύο χρώματα τότε κάποια δύο είναι ομοιόχρωμα.

Ας δούμε μία απόδειξη, αν και περιττεύει:

Αν υπάρχουν δύο ή παραπάνω άσπρα, τελειώσαμε. Αλλιώς έχουμε ένα (ή κανένα) άσπρο. Τότε τα άλλα δύο (ή τρία) είναι μαύρα. Τελειώσαμε.

Από ποιον διαγωνισμό είναι η άσκηση;

Θυμώνουν ένα παρόμοιο που είχε πέσει σε παλιό Putnam,μετά από ψάξιμο ήταν το Α5 του Putnam του 88, ζηταγε το εξής:

Α) Χρωματίζουμε κάθε σημείο του επιπέδου με ένα από τρία διαθέσιμα χρώματα, να δειχθεί πως έχουμε 2 σημεία με το ίδιο χρώμα που απέχουν ακριβώς 1.

Β) ισχύει το ίδιο αν είχαμε 9 χρώματα;

Δεν ξέρω αν είναι όντως απο εκεί, αλλά είναι πολύ παρόμοιο.

[qwerty]

Εφαρμογή της αρχής του περιστερώνα.

Μην κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Δεν χρειάζεται Αρχή του Περιστερώνα για να αποφανθούμε ότι από τρία σημεία βαμμένα με δύο χρώματα τότε κάποια δύο είναι ομοιόχρωμα.

Ας δούμε μία απόδειξη, αν και περιττεύει:

Αν υπάρχουν δύο ή παραπάνω άσπρα, τελειώσαμε. Αλλιώς έχουμε ένα (ή κανένα) άσπρο. Τότε τα άλλα δύο (ή τρία) είναι μαύρα. Τελειώσαμε.

Από ποιον διαγωνισμό είναι η άσκηση;

ok δε χρειάζεται να αναφέρουμε ότι είναι η αρχή του περιστερώνα, αλλά και να μην το αναφέρουμε δεν παύει να είναι μια εφαρμογή του (ντάξει λεπτομέρειες).
Το θέμα είναι από ρώσικο διαγωνισμό, δεν πρόσεξα από ποιόν ακριβώς, από το problems.ru το πήρα. Έχει μια λειτουργία που σου δίνει random προβλήματα από διάφορους ρώσικους διαγωνισμούς, βιβλία κτλ.