Τα βαζάκια

[Al.Koutsouridis]

Η Αθηνά και ο Φοίβος έχουν μερικά βαζάκια γλυκό με το καθένα να έχει όγκο ακέραιο αριθμό κοτυλών. Ο συνολικός όγκος όλων των βάζων της Αθηνάς είναι φορές μεγαλύτερος από τον συνολικό όγκο των βάζων του Φοίβου. Η Αθηνά έδωσε στον Φοίβο το βάζω με τον μικρότερο όγκο (από αυτά, που είχε αυτή), μετά από το οποίο ο συνολικός όγκος των βάζων της προέκυψε να είναι φορές μεγαλύτερος από το συνολικό όγκο των βάζων του Φοίβου. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός βάζων που μπορεί να είχε αρχικά η Αθηνά;

[Mihalis_Lambrou]

Η Αθηνά και ο Φοίβος έχουν μερικά βαζάκια γλυκό με το καθένα να έχει όγκο ακέραιο αριθμό κοτυλών. Ο συνολικός όγκος όλων των βάζων της Αθηνάς είναι φορές μεγαλύτερος από τον συνολικό όγκο των βάζων του Φοίβου. Η Αθηνά έδωσε στον Φοίβο το βάζω με τον μικρότερο όγκο (από αυτά, που είχε αυτή), μετά από το οποίο ο συνολικός όγκος των βάζων της προέκυψε να είναι φορές μεγαλύτερος από το συνολικό όγκο των βάζων του Φοίβου. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός βάζων που μπορεί να είχε αρχικά η Αθηνά;

Ξεχάστηκε.

Έστω ο όγκος των βάζων του Φοίβου, οπότε της Αθηνάς είναι . Αν ο όγκος του (μικρότερου) βάζου της Αθηνάς, το οποίο έδωσε στον Φοίβο, τώρα ο Φοίβος έχει όγκο βάζων και η Αθηνά . Από το πρόβλημα είναι , οπότε . Άρα για κάποιον ακέραιο είναι , που σημαίνει ότι ο αρχικός όγκος των βάζων της Αθηνάς είναι και το πιο μικρό έχει όγκο .

Έστω τώρα ότι η Αθηνά έχει βάζα. Αφού όλα έχουν όγκο και το πιο μικρό , έπεται , δηλαδή .

Δηλαδή η Αθηνά έχει το πολύ βάζα.

Επαλήθευση (χωρίς βλάβη ). Αρχικά ο Φοίβος έχει βάζα όγκου και η Αθηνά , και το μικρότερο βάζο της Αθηνάς έχει όγκο . Mετά ο Φοίβος έχει βάζα όγκου και η Αθηνά (ως όφειλε). Τέλος, η Αθηνά έχει 23 βάζα που είναι συμβατό με το . To σενάριο αυτό είναι υπαρκτό, π.χ. με την Αθηνά να έχει βάζα όγκου και ενός των , που βέβαια .