Αριθμοί σε κάρτες

[socrates]

Ο Γιώργος έχει έξι κάρτες. Σε κάθε κάρτα είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος. Ο Γιώργος επιλέγει τρεις κάρτες και προσθέτει τους αριθμούς που είναι γραμμένοι σε αυτές. Επαναλαμβάνει τη διαδικασία για όλες τις δυνατές επιλογές τριών καρτών και παρατηρεί ότι βρήκε μόνο δύο αθροίσματα: το 16 (δέκα φορές) και το 18 (επίσης 10 φορές). Ποιοι αριθμοί είναι γραμμένοι στις έξι κάρτες;

[Joaakim]

Ο Γιώργος έχει έξι κάρτες. Σε κάθε κάρτα είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος. Ο Γιώργος επιλέγει τρεις κάρτες και προσθέτει τους αριθμούς που είναι γραμμένοι σε αυτές. Επαναλαμβάνει τη διαδικασία για όλες τις δυνατές επιλογές τριών καρτών και παρατηρεί ότι βρήκε μόνο δύο αθροίσματα: το 16 (δέκα φορές) και το 18 (επίσης 10 φορές). Ποιοι αριθμοί είναι γραμμένοι στις έξι κάρτες;

Θα δείξουμε ότι σε πέντε από τις κάρτες είναι γραμμένος ο ίδιος θετικός ακέραιος, και στην περισσευόμενη μία κάρτα ένας άλλος θετικός ακέραιος, διαφορετικός από τους άλλους. Πράγματι, αν στην μια κάρτα είναι γραμμένος ο θετικός ακέραιος και στις άλλες πέντε ο θετικός ακέραιος , , τότε τα μόνο δύο αθροίσματα που προκύπτουν είναι τα:
και . (Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, τα αθροίσματα που προκύπτουν είναι παραπάνω από δύο). Αφού όμως το δεν είναι πολλαπλάσιο του ,
θα είναι:
, που δίνει .
Άρα οι θετικοί ακέραιοι που είναι γραμμένη σε κάθε μία από τις έξι κάρτες είναι, αντίστοιχα, οι:

[socrates]

Σωστά!
Το παρακάτω σημείο βέβαια αντέχει λίγη ακόμη εξήγηση...

(Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, τα αθροίσματα που προκύπτουν είναι παραπάνω από δύο).

[Joaakim]

Σωστά!
Το παρακάτω σημείο βέβαια αντέχει λίγη ακόμη εξήγηση...

(Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, τα αθροίσματα που προκύπτουν είναι παραπάνω από δύο).

Θα πάρουμε την περίπτωση που πάνω στις κάρτες είναι γραμμένοι οι θετικοί ακέραιοι , με .
Τότε τα αθροίσματα είναι:
, , , , τα οποία είναι τέσσερα αθροίσματα, διαφορετικά μεταξύ τους. Παρόμοια και για τις άλλες τρεις περιπτώσεις (για τις οποίες παίρνουμε μάλιστα άμεσα άτοπο, αφού τα δυνατά αθροίσματα, διαφορετικά μεταξύ τους που θα είναι, θα είναι μεγαλύτερα σε πλήθος από τέσσερα, οπότε και διαφορετικά από δύο).

[socrates]

Ωραία!
Αλλιώς, αν έχουμε τρεις διαφορετικούς αριθμούς τότε από τους άλλους τρεις παίρνουμε δύο, τους , και έχουμε τα διαφορετικά αθροίσματα άτοπο.
Για δύο αριθμούς, αν έχουμε καθέναν τουλάχιστον δύο φορές, έχουμε τα διαφορετικά ανά δύο αθροίσματα
Άρα οι αριθμοί είναι

[Mihalis_Lambrou]

, , , , τα οποία είναι τέσσερα αθροίσματα, διαφορετικά μεταξύ τους.

Δεν παρακολουθώ την συζήτηση (θα το κάνω αργότερα) αλλά τυχαία έπεσε το μάτι μου στο παραπάνω. Είναι σίγουρα σωστό;

Π.χ. αν δεν είναι ;

[Joaakim]

, , , , τα οποία είναι τέσσερα αθροίσματα, διαφορετικά μεταξύ τους.

Δεν παρακολουθώ την συζήτηση (θα το κάνω αργότερα) αλλά τυχαία έπεσε το μάτι μου στο παραπάνω. Είναι σίγουρα σωστό;

Π.χ. αν δεν είναι ;

Πράγματι, έχετε δίκιο. Όμως μπορούμε εύκολα να το «σώσουμε» ως εξής:
Έχουμε
Επίσης έχουμε .
Οπότε , άρα, αν έως τέσσερις θετικοί ακέραιοι που είναι γραμμένοι πάνω σε κάθε μία από τις κάρτες είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε έχουμε τουλάχιστον τρία αθροίσματα, άτοπο!

[Mihalis_Lambrou]

... Όμως μπορούμε εύκολα να το «σώσουμε» ως εξής:
...