ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΟ ΒΡΑΔΥ.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Χθες το βράδυ, καθώς προσπαθούσα να βρω θέματα για κάποιο παιδί που αγαπά τα μαθηματικά, σκέφτηκα την παρακάτω ανισότητα.

Σε τρίγωνο ABC

οι $r_{a},r_{b},r_{c}$ είναι οι ακτίνες των παραγγεγραμμένων κύκλων που αντιστοιχούν στις πλευρές a,b,c

αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle\frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{b}}{r_{c}}+\frac{r_{c}}{r_{a}}\geq \sqrt[3]{\frac{E^{2}}{r}}\cdot \frac{1}{r}$

όπου $E=\left ( ABC \right )$ και

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

#2

Πρόκειται στην πραγματικότητα για την ανισότητα

$\displaystyle{\boxed{x,y,z>0 \implies \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}}}$

μέσω της αντικατάστασης $\displaystyle{x=s-a, y=s-b, z=s-c.}$

Η αποδεικτέα γράφεται μετά από τον μετασχηματισμό $\displaystyle{\frac{x}{y}=k^3, \frac{y}{z}=\ell ^3, \frac{z}{x}=m^3}$ ως

$\displaystyle{k^3+\ell ^3+m^3\geq k^2\ell +\ell ^2m +m^2k}$

η οποία είναι άμεση π.χ. από αναδιάταξη.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

O Θάνος έχει μακρά ιστορία στις ανισότητες και φυσικά έπιασε αμέσως την αρχική ιδέα που χρησιμοποίησα για την εύρεση της ανισότητας αυτής...
Ας δούμε λίγο την πορεία της σκέψης μου...

Ξεκινώ φυσικά από την ανισότητα

$\displaystyle\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$ με x,y,z

θετικούς.

Αν θέσω όπου

το $\displaystyle\frac{1}{x}$ , όπου

το $\displaystyle\frac{1}{y}$ , όπου

το $\displaystyle\frac{1}{z}$ προκύπτει ότι

$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\geq \sqrt[3]{xyz}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )$

Θέτω τώρα $x=r_{a},z=r_{b},y=r_{c}$ και η ανισότητα γίνεται

$\displaystyle \frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{b}}{r_{c}}+\frac{r_{c}}{r_{a}}\geq \sqrt[3]{r_{a}r_{b}r_{c}}\left ( \frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}} +\frac{1}{r_{c}}\right )$

Θυμήθηκα αμέσως τους τύπους $\displaystyle\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}=\frac{1}{r}, E=\sqrt{rr_{a}r_{b}r_{c}}$ και έτσι προέκυψε η ανισότητα που πρότεινα.

ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΟ ΒΡΑΔΥ.

ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΟ ΒΡΑΔΥ.

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΟ ΒΡΑΔΥ.

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΟ ΒΡΑΔΥ.

Μέλη σε σύνδεση