Διπλωματούχος

KARKAR · #1

: Διπλωματούχος.png (56.86 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

διπλώνουμε κατά μήκος της

και το

έρχεται στη θέση

.

Οι

, τέμνουν την

στα σημεία S , T

. Υπολογίστε το μήκος του

.

Προαιρετικό : Μπορούμε να γενικεύσουμε για πλευρά και ;

Al.Koutsouridis · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2023 12:49 pm
Διπλωματούχος.pngΣτο τετράγωνο διπλώνουμε κατά μήκος της και το έρχεται στη θέση .

Οι , τέμνουν την στα σημεία . Υπολογίστε το μήκος του .

Προαιρετικό : Μπορούμε να γενικεύσουμε για πλευρά και ;

Έστω

το σημείο τομής των ευθειών $C^{\prime}P$ ,

,

το σημείο τομής των τμημάτων $C^{\prime}C$ ,

και

το σημείο τομής του τμήματος

με την παράλληλης από το $C^{\prime}$ προς την

.

Έχουμε $ax=DP \cdot CM$ , άρα $CM=\dfrac{ax}{DP} =\dfrac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}$

$C^{\prime}C=2 \cdot CM = \dfrac{2ax}{\sqrt{a^2+x^2}}$

$\dfrac{CN}{CC^{\prime}}=\dfrac{DC}{DP}$ , άρα $CN = CC^{\prime} \cdot \dfrac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}= \dfrac{2ax}{\sqrt{a^2+x^2}} \cdot \dfrac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}= \dfrac{2a^2x}{a^2+x^2}$

$PN=CN-CP= \dfrac{2a^2x}{a^2+x^2}-x= x \left ( \dfrac{2a^2x}{a^2+x^2}-1\right)= x \dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}$

Επομένως έχουμε $\dfrac{PN}{PC}= \dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}$

Ισχύει $\dfrac{C^{\prime}N}{CN}=\dfrac{PC}{DC}$ , άρα $C^{\prime}N=CN \cdot \dfrac{x}{a} = \dfrac{2a^2x}{a^2+x^2} \cdot \dfrac{x}{a}= \dfrac{2ax^2}{a^2+x^2}$ .

Ισχύει $\dfrac{CQ}{C^{\prime}N}=\dfrac{PC}{PN}$ , άρα $CQ=C^{\prime}N \cdot \dfrac{PC}{PN}=\dfrac{2ax^2}{a^2+x^2} \cdot \dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}= \dfrac{2ax^2}{a^2-x^2}$ .

Επομένως $DQ=DC+CQ=a+\dfrac{2ax^2}{a^2-x^2}=a \left (\dfrac{2x^2}{a^2-x^2}+1 \right )= a \dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}$ .

Ισχύει $\dfrac{ST}{DQ}=\dfrac{C^{\prime}T}{C^{\prime}D}=\dfrac{NB}{NC}$ , άρα $ST=DQ \cdot \dfrac{NB}{NC}=DQ \cdot \dfrac{CB-CN}{CN}=DQ \cdot \left ( \dfrac{CB}{CN}-1 \right) = a \dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2} \cdot \left (\dfrac{a}{\dfrac{2a^2x}{a^2+x^2}}-1\right)=$

$=a \dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2} \cdot \left ( \dfrac{a^2+x^2}{2ax}-1\right)= a \dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2} \cdot \left ( \dfrac{a^2+x^2-2ax}{2ax}\right)=a \dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2} \cdot \dfrac{(a-x)^2}{2ax}=$

$=\dfrac{a(a^2+x^2)(a-x)^2}{2ax (a-x)(a+x)}= \dfrac{(a-x)(a^2+x^2)}{2x(a+x)}$

Αντικαθιστώντας τις τιμές a=6, x=4

βρίσκουμε $ST=\dfrac{13}{10}$ .

: geogebra-export.png (130.33 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Διπλωματούχος

Διπλωματούχος

Re: Διπλωματούχος

Μέλη σε σύνδεση