Μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι

KARKAR · #1

Βρείτε τους μονοψήφιους θετικούς ακεραίους m , n

στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 03, 2023 8:35 pm
Μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι.pngΒρείτε τους μονοψήφιους θετικούς ακεραίους στο ορθογώνιο τρίγωνο .

$\cos \theta = - \dfrac{1}{5},\,\,\,{a^2} = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 6\left( { - \dfrac{1}{5}} \right) = 41 + 8 = 49 = {7^2}$ . Άρα , a = BC = 7

.

Και φυσικά : $1 + 4 = 5\,\,,\,\,5 + 2 = 7$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 03, 2023 8:35 pm
Μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι.pngΒρείτε τους μονοψήφιους θετικούς ακεραίους στο ορθογώνιο τρίγωνο .

Και αλλιώς:

Από το Πυθαγόρειo θεώρημα έχουμε:

AB^2 = (m+n+2)^2 -(m+n)^2

, καi

Άρα:

$(m+n)^2 -(m+n)^2 = (m+n)^2 -m^2\Leftrightarrow n^2 +2(m-2)n -4(m+1)=0$

Η διακρίνουσα του τριωνύμου αυτού είναι:

D=4(m^2 +8)

Για να είναι τέλειο τετράγωνο ο

, (όπως προφανώς πρέπει), με δεδομένο ότι ο

είναι μονοψήφιος θετικός ακέραιος,

θα έχουμε m=1

. Τότε

και $n=\frac{-2(m-2)\pm6}{2}=\frac{2\pm6}{2}$ . Aφού και ο

είναι θετικός ακέραιος θα είναι n=4

Άρα:

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 03, 2023 8:35 pm
Βρείτε τους μονοψήφιους θετικούς ακεραίους στο ορθογώνιο τρίγωνο .

Χρόνια πολλά στο φίλο Νίκο Φραγκάκη και σε όλους τους εορτάζοντες του forum. Η δεκτή σχέση αληθεύει για m = 1

, συνεπώς

Ανδρέας Πούλος · #5

Από τις σχέσεις που βρήκε ο Δημήτρης Ιωάννου

AB^2 = (m+n+2)^2 -(m+n)^2 , AB^2 = (m+n)^2 -m^2

προκύπτει ότι 4(n+ m + 1) = n^2 + 2mn

. (1)

Αφού πρόκειται για φυσικούς μονοψήφιους, σημαίνει ο

άρτιος και ότι οι τιμές του θα είναι

ή

.
Με αντικατάσταση στον τύπο (1) προκύπτει ότι μόνο η τιμή n = 4

είναι δεκτή. Συνεπώς, m = 1

.