Εξίσωση στους φυσικούς

#1

Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους a, b, c

ώστε

Nikitas K. · #2

Καλησπέρα,

Μετατρέπουμε τον αριθμό 168

στη δυαδική του αναπαράσταση με τον παρακάτω αλγόριθμο:

168~mod~2=0

Οπότε, ο αριθμός 168

στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αναπαρίσταται ως:
168 = (10101000)_2 = 2^7+2^5+2^3

Λόγω, ότι στην πρόσθεση ισχύει η ιδιότητα της αντιμεταθετικότητας προκύπτουν οι παρακάτω λύσεις:
$\displaystyle (a,b,c)\in\{ (3,5,7),(3,7,5),(5,3,7),(5,7,3),(7,3,5)(7,5,3)\}$

#3

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle{a\geq b\geq c}$

(1) Αν $\displaystyle{a=b=c}$ , τότε: $\displaystyle{3.2^a =168\Rightarrow 2^a = 56}$ , που είναι αδύνατη.

(2) Αν $\displaystyle{b=c}$ και $\displaystyle{a\neq c}$ τότε : $\displaystyle{2^a +2.2^b =168\Rightarrow 2^b(2^{a-b}+2)=168\Rightarrow 2^{b+1} (2^{a-b-1}+1)=2^3 . 21}$
Αν ήταν τώρα $\displaystyle{a-b-1=0}$ , τότε θα είχαμε $\displaystyle{2^{b+1} . 2 =2^3 .21\Rightarrow 2^{b+1}=2^2 .21, }$ που είναι αδύνατη.
Αν πάλι ήταν $\displaystyle{a-b-1\neq 0}$ , τότε επειδή ο αριθμός μέσα στην παρένθεση είναι περιττός, θα πρέπει: $\displaystyle{b+1=3 , 2^{a-b-1}+1=21}$
Άρα $\displaystyle{b=2 , 2^{a-3}=20}$ , που και πάλι είναι αδύνατον.

(3) Αν $\displaystyle{a\neq c , b\neq c}$ , τότε από την δοσμένη σχέση έχουμε:
$\displaystyle{2^c (2^{a-c}+2^{b-c}+1)=2^3 .21}$
Ο αριθμός μέσα στην παρένθεση είναι περιττός, άρα πρέπει: $\displaystyle{2^c =2^3}$ και $\displaystyle{2^{a-c}+2^{b-c}=20}$
Άρα: $\displaystyle{c=3}$ και $\displaystyle{2^{a-3}+2^{b-3}=20\Rightarrow 2^{b-3}(2^{a-b}+1)=20 \Rightarrow 2^{b-3} =2^2 , 2^{a-b}+1=5}$
Άρα: $\displaystyle{b-3=2 , 2^{a-b}=4}$ .
Άρα: $\displaystyle{b=5 , 2^{a-5}=2^2 }$
Άρα: $\displaystyle{b=5 , a=7}$

Συνεπώς $\displaystyle{a=7 , b=5 , c=3}$

Ομοίως αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ έχουν διαφορετική διάταξη, παίρνουμε τις αντίστοιχες τιμές τους.

Εξίσωση στους φυσικούς

Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση