12 αριθμοί με άθροισμα και γινόμενο 12

#1

Βρείτε όλα να σύνολα που αποτελούνται από 12 ακεραίους (όχι κατ' ανάγκη διαφορετικών) οι οποίοι έχουν άθροισμα

και γινόμενο

.

(Πρόσθεσα μία φράση για να διευκρινίσω τι εννοώ).
.

Nikitas K. · #2

Έστω, ότι $\displaystyle \exists A\in\left\{ x \subseteq \mathbb{Z}~ |~ |x| = \sum_{i\in x}{i} = \prod_{i\in x}{i} = 12 \right\}$
Θέτοντας $\displaystyle A = \left\{ x_1, x_2,\dots, x_{12}\right\} \wedge x_1 < x_2 < \dots < x_{12}$
Προφανώς $\displaystyle \prod_{i=1}^{12} x_i \neq 0 \Leftrightarrow \forall x \in A ~ x\neq 0$
Ισχύει $\displaystyle \prod_{i=1}^{6} x_i | 12 \Leftrightarrow \prod_{i=1}^{6} |x_i|~|~12$ άτοπο, διότι $\displaystyle \prod_{i=1}^{6} |x_i|\geq \prod_{i=1}^{3} i^2 =36>12$
Επομένως, δεν υπάρχει σύνολο με τις ζητούμενες ιδιότητες.

#3

Για ξαναδές το αυτό. Οι αριθμοί μπορεί να επαναλαμβάνονται (το πρόσθεσα στην εκφώνηση για να είναι απόλυτα σαφές). Για παράδειγμα οι

ακέραιοι που δίνω στο hide (για να μην χαλάσω την λύση σε κάποιον που θέλει να την δοκιμάσει) έχουν άθροισμα και γινόμενο

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Nikitas K. · #4

Από το γινόμενο προκύπτει ότι κάθε μέλος των ζητούμενων συλλογών είναι διαιρέτης του

οι οποίες έχουν άρτιο πλήθος αρνητικών μελών.

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle 12\cdot\prod_{i=1}^{11}1 = 6\cdot 2\cdot \prod_{i=1}^{10}1 = 4\cdot 3\cdot \prod_{i=1}^{10}1 = 3 \cdot 2 \cdot 2\cdot \prod_{i=1}^{9}1$

Λήμμα: Αντικαθιστώντας οποιονδήποτε ακέραιο όρο ενός αθροίσματος με τον αντίθετό του, τότε το άθροισμα μεταβάλλεται κατά
$\displaystyle -2\cdot($ τον όρο που αντικαταστάθηκε $\displaystyle )$ , κατ' επέκταση το άθροισμα μεταβάλλεται κατά άρτιο αριθμό.

Διακρίνουμε περιπτώσεις με την παρακάτω τακτική γραφής:

1. $\displaystyle 12+\sum_{i=1}^{11}1 = 23$ απορρίπτεται.

Οποιαδήποτε αντικατάσταση των όρων του παραπάνω αθροίσματος με τον αντίθετό του θα μειώνει κατά θετικό άρτιο αριθμό το άθροισμα άρα το νέο άθροισμα θα είναι πάλι περιττός αριθμός και διαφορετικός του αριθμού $\displaystyle 12$ που είναι άρτιος απορρίπτεται.

2. $\displaystyle 6+2+\sum_{i=1}^{10} 1 = 18$ απορρίπτεται.

$\displaystyle -6+2+\sum_{i=1}^{10}1=6$ απορρίπτεται.

απορρίπτεται.
- $\displaystyle 6-2-1+\sum_{i=1}^{9}1=12$ δεκτή.

απορρίπτεται.
- $\displaystyle 6+2-1-1-1+\sum_{i=1}^{7}1 = 12$ απορρίπτεται, λόγω περιττού πλήθους αρνητικών.

3. $\displaystyle 4+3+\sum_{i=1}^{10}1 =17$ απορρίπτεται.

Όμοια με την υποπερίπτωση της περίπτωσης 1.

4. $\displaystyle 3+2+2+\sum_{i=1}^{9}1 = 16$ απορρίπτεται.

$\displaystyle -3+2+2+\sum_{i=1}^{9}1 = 10$ απορρίπτεται.

$\displaystyle 3-2+2+\sum_{i=1}^{9}1 = 12$ απορρίπτεται, λόγω περιττού πλήθους αρνητικών.

απορρίπτεται.
- $\displaystyle 3+2+2-1-1+\sum_{i=1}^{7}1=12$ δεκτή.

Άρα οι ζητούμενες συλλογές είναι $\displaystyle \left\{ -2,-1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,6\right\}$ και $\displaystyle \left\{ -1,-1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3\right\}$

Ενώ μια υπερβολικά χρονοβόρα εναλλακτική λύση είναι η παρακάτω:
Από το γινόμενο προκύπτει ότι κάθε μέλος των ζητούμενων συλλογών είναι διαιρέτης του

άρα ανήκει στο σύνολο $\displaystyle \left\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\right\}$
Τώρα απομένουν $12^{12}=8 ~916~ 100~ 448~ 256$ δοκιμές... και $\displaystyle \frac{12!}{1!\cdot1!\cdot9!\cdot1!}+\frac{12!}{2!\cdot7!\cdot2!\cdot1!}=25~080$ δεκτές διατάξεις από όπου καλούμαστε να βρούμε τις συλλογές από τις οποίες προέκυψαν με αναδιάταξή τους, προφανώς οι παραπάνω...

Κώδικας: Επιλογή όλων

package twelve_numbers_sum_product_equal;

import java.io.FileWriter;
import java.io.IOException;
import java.io.PrintWriter;

public class SumProductEqual12 {
	static final int[] arr = { -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 };

	public static void main(String[] args) {
		try {
			FileWriter fileWriter = new FileWriter("output.txt");
			PrintWriter printWriter = new PrintWriter(fileWriter);

			for (int x1 : arr)
				for (int x2 : arr)
					for (int x3 : arr)
						for (int x4 : arr)
							for (int x5 : arr)
								for (int x6 : arr)
									for (int x7 : arr)
										for (int x8 : arr)
											for (int x9 : arr)
												for (int x10 : arr)
													for (int x11 : arr)
														for (int x12 : arr)
															if (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11
																	+ x12 == 12
																	&& x1 * x2 * x3 * x4 * x5 * x6 * x7 * x8 * x9
																			* x10 * x11 * x12 == 12)
																printWriter.println(x1 + "," + x2 + "," + x3 + "," + x4
																		+ "," + x5 + "," + x6 + "," + x7 + "," + x8
																		+ "," + x9 + "," + x10 + "," + x11 + "," + x12);

			printWriter.close();
			System.out.println("Output written to output.txt");
		} catch (IOException e) {
			System.err.println("An error occurred while writing to the file.");
			e.printStackTrace();
		}
	}
}

#5

Χάθηκαν κάποιες λύσεις στην πιο πάνω ανάρτηση. Επεξεργασία: Όπως με ενημέρωσε ο Μιχάλης εγώ βρήκα περισσότερες λύσεις μια και βρήκα και αυτές με γινόμενο

.

Μόνο για θετικούς αριθμούς υπάρχουν όντως

τρόποι να έχουμε γινόμενο

με

αριθμούς. Οι

$12^{1} \cdot 1^{11}$

$6^{1} \cdot 2^{1} \cdot 1^{10}$

$4^{1} \cdot 3^{1} \cdot 1^{10}$

$2^{2} \cdot 3^{1} \cdot 1^{9}$

Η πρώτη και η τρίτη απορρίπτονται (με οποιοδήποτε συνδυασμό προσήμων) διότι έχουν περιττό πλήθος περιττών αριθμών και άρα το άθροισμα θα είναι πάντα περιττό.

Στη δεύτερη δεν μπορούμε να έχουμε

διότι μετά το άθροισμα θα είναι το πολύ -6+2+10 < 12

. Άρα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το

. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το

ή το

και κάθε μία επιλογή μας δίνει μοναδική επιλογή για το πόσα

και πόσα

θα έχουμε. Οι δύο επιλογές είναι:

Γινόμενο άρα απορρίπτεται.

Στην τέταρτη δεν μπορούμε να έχουμε

διότι μετά το άθροισμα θα είναι το πολύ -3+2+2+9 < 12

. Για τον ίδιο λόγο το πολύ ένα από τα δυάρια μπορεί να πάρει αρνητικό πρόσημο. Καταλήγουμε στις επιλογές:

Γινόμενο άρα απορρίπτεται.

12 αριθμοί με άθροισμα και γινόμενο 12

12 αριθμοί με άθροισμα και γινόμενο 12

Re: 12 αριθμοί με άθροισμα και γινόμενο 12

Re: 12 αριθμοί με άθροισμα και γινόμενο 12

Re: 12 αριθμοί με άθροισμα και γινόμενο 12

Re: 12 αριθμοί με άθροισμα και γινόμενο 12

Μέλη σε σύνδεση