Ημιεμβαδόν

KARKAR · #1

: ημιεμβαδόν.png (7.62 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

Στις πλευρές AB , AD

του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου ABCD

, θεωρούμε σημεία S , T

, τέτοια

ώστε : SB=TD=x

. Συμπληρώνουμε το ορθογώνιο ASPT

. Αν : $(ASPT)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ :

α) Υπολογίστε το

. β) Εξετάστε αν η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{CBD}$ .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 11, 2025 9:25 am
ημιεμβαδόν.pngΣτις πλευρές του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία , τέτοια

ώστε : . Συμπληρώνουμε το ορθογώνιο . Αν : $(ASPT)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ :

α) Υπολογίστε το . β) Εξετάστε αν η είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{CBD}$ .

Εστω ότι $TD=SB=x,K\Theta \perp DB,(ASPT)=\dfrac{(ABCD)}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-2(a+b)x+ab=0, x=\dfrac{a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$ ,Η άλλη λύση λόγω των περιορισμών απορρίπτεται

β) $KC//PI,\dfrac{KC}{x}=\dfrac{b}{b-x}\Leftrightarrow KC=\dfrac{bx}{b-x},(*)$

Από το εγρ'αψιμο τετράπλευρο

$K\Theta BC,\dfrac{K\Theta }{b}=\dfrac{DK}{DB}\Leftrightarrow K\Theta = \dfrac{b(ab-ax-bx)}{(b-x)\sqrt{a^{2}+b^{2}}},(**)$

εστω ότι $KC=K\Theta ,(*),(**)\Rightarrow 2ab=-2ab$ ατοπο αρα δεν είναι διχοτόμος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 11, 2025 9:25 am
ημιεμβαδόν.pngΣτις πλευρές του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία , τέτοια

ώστε : . Συμπληρώνουμε το ορθογώνιο . Αν : $(ASPT)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ :

α) Υπολογίστε το . β) Εξετάστε αν η είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{CBD}$ .

: ημιεμβαδόν.png (23.36 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές

Με $AB=a, AD=b, BC= c=\sqrt {a^2+b^2}$ έχουμε ab=(ABCD)=2(ASPT)=2(a-x)(b-x)

. Λύνοντας θα βρούμε

$x= \dfrac {1}{2}(a+b-\sqrt {a^2+b^2})= \dfrac {1}{2}(a+b-c)$ (κρατάμε την ρίζα με 0<x<a, 0<x<b

).

Για να δείξουμε ότι η

είναι διχοτόμος αρκεί να δείξουμε ότι BD:BC=DE:EC

, δηλαδή $\dfrac {c}{b}=\dfrac {z}{y}$ .

Από τα όμοια τρίγωνα BPQ, BEC

έχουμε $\dfrac {PQ}{BQ}=\dfrac {EC}{BC}$ , ισοδύναμα $\dfrac {x}{b-x}=\dfrac {y}{b}$ . Άρα $y= \dfrac {bx}{b-x}$ οπότε και $z=a-y= \dfrac {ab -ax-bx}{b-x}$ . Συνεπώς

$\dfrac {z}{y}=\dfrac {ab-ax-bx}{bx}= \dfrac {ab- \frac {1}{2} (a+b)(a+b-c)}{\frac {1}{2} b(a+b-c)}= \dfrac {ac+bc-a^2-b^2}{b(a+b-c}= \dfrac {ac+bc-c^2}{b(a+b-c)} = \dfrac {c}{b}$ , όπως θέλαμε.

STOPJOHN · #4

STOPJOHN έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 11, 2025 5:33 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 11, 2025 9:25 am
ημιεμβαδόν.pngΣτις πλευρές του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία , τέτοια

ώστε : . Συμπληρώνουμε το ορθογώνιο . Αν : $(ASPT)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ :

α) Υπολογίστε το . β) Εξετάστε αν η είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{CBD}$ .
Εστω ότι $TD=SB=x,K\Theta \perp DB,(ASPT)=\dfrac{(ABCD)}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-2(a+b)x+ab=0, x=\dfrac{a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$ ,Η άλλη λύση λόγω των περιορισμών απορρίπτεται

β) $KC//PI,\dfrac{KC}{x}=\dfrac{b}{b-x}\Leftrightarrow KC=\dfrac{bx}{b-x},(*)$

Από το εγρ'αψιμο τετράπλευρο

$K\Theta BC,\dfrac{K\Theta }{b}=\dfrac{DK}{DB}\Leftrightarrow K\Theta = \dfrac{b(ab-ax-bx)}{(b-x)\sqrt{a^{2}+b^{2}}},(**)$

$(*),(**)\Rightarrow x\sqrt{a^{2}+b^{2}}= ab-(a+b)x\Leftrightarrow x=\dfrac{a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$

Αρα είναι διχοτόμος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 11, 2025 9:25 am
ημιεμβαδόν.pngΣτις πλευρές του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία , τέτοια

ώστε : . Συμπληρώνουμε το ορθογώνιο . Αν : $(ASPT)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ :

α) Υπολογίστε το . β) Εξετάστε αν η είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{CBD}$ .

a)Είναι $(TDCE)+(PEBS)= \dfrac{ab}{2} \Leftrightarrow ax+(b-x)x= \dfrac{ab}{2} \Leftrightarrow 2x^2-2(a+b)x+ab=0$

με δεκτή ρίζα $x= \dfrac{a+b- \sqrt{a^2+b^2} }{2}=\dfrac{a+b- d }{2}$

b)Με $PN \bot BD$ θα αποδείξουμε ότι PN=x

$(DPB)=(BCD)-(DPEC)-(PEB) \Rightarrow \dfrac{dy}{2}= \dfrac{ab}{2}- \dfrac{(a+x)x}{2}- \dfrac{(b-x)x}{2}$

που ισοδυναμεί με την dy=ab-(a+b)x (1)

Παρατηρούμε ότι για y=x

παίρνουμε

αληθής , άρα

είναι η μοναδική λύση της (1)

Επομένως

διχοτόμος της $\angle CBD$

: ημιεμβαδόν.png (14.54 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

Ημιεμβαδόν

Ημιεμβαδόν

Re: Ημιεμβαδόν

Re: Ημιεμβαδόν

Re: Ημιεμβαδόν

Re: Ημιεμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση