Κλάσμα πρώτων

#1

.

: Κλάσμα πρώτων.png (5.31 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

.
Θέλουμε να βάλουμε στα τετράγωνα του σχήματος από έναν διαφορετικό πρώτο αριθμό από το 2 έως το 19 έτσι ώστε η τιμή του σημειωμένου κλάσματος να είναι φυσικός αριθμός. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να έχει το κλάσμα αυτό;

mick7 · #2

Μια λύση...

#3

.
Θεωρώ την άσκηση ακόμα ανοικτή.

Είναι αυτονόητο ότι οι ασκήσεις του mathematica απευθύνονται σε άτομα που επιθυμούν να σκέπτονται. Η χρήση λογισμικού για τόσο απλές ασκήσεις είναι πρακτική που πρέπει να αποφεύγουμε, ιδίως εμείς οι Δάσκαλοι, που πρέπει να έχουμε στόχο την καλλιέργεια της συλλογιστικής.

Αλλοίμονο αν διδάσκουμε τους μαθητές μας να λειτουργούν παθητικά, ιδίως σε αυτό το επίπεδο ασκήσεων. Καήκαμε.

Fotis34 · #4

Ωραίο!

Οι πρώτοι από 2 έως 19 είναι:

$\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19$

Το άθροισμά τους είναι:

$\displaystyle 2+3+5+7+11+13+17+19 = 77$

Ο αριθμητής περιλαμβάνει όλους τους πρώτους εκτός από τον $\displaystyle{H}$ , (με την προϋπόθεση ότι οι αριθμοί του αριθμητή είναι οι $\displaystyle{A,B,C,D,E,F,G}$ ).

Έχουμε ότι:
$\displaystyle A+B+C+D+E+F+G = 77 - H$

Άρα το κλάσμα γράφεται:

$\displaystyle \frac{A+B+C+D+E+F+G}{H} = \frac{77 - H}{H}$

Θέλουμε:

$\displaystyle \frac{77-H}{H} \in \mathbb{N}$

Διαιρούμε τον αριθμητή:

$\displaystyle \frac{77-H}{H} = \frac{77}{H} - 1 \in \mathbb{N} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{77}{H} \in \mathbb{N}$

Άρα πρέπει ο

να διαιρεί το $\displaystyle{77}$ .

$\displaystyle 77 = 7 \cdot 11$

Εύκολα προκύπτει ότι :
$\displaystyle{H = 7}$ και $\displaystyle{H = 11}$

Θα ελέγξω τις δύο περιπτώσεις :
•Αν H = 7

:
$\displaystyle \frac{77-7}{7} = \frac{70}{7} = 10$

•Αν H = 11

:
$\displaystyle \frac{77-11}{11} = \frac{66}{11} = 6$

Οι δυνατές τιμές του κλάσματος είναι:

$\displaystyle \boxed{6 \text , 10}$

#5

.

Fotis34 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 30, 2025 11:50 pm
Ωραίο!

.
Είμαι ευτυχής όχι μόνο γιατί έλυσες την άσκηση αλλά γιατί, επιπλέον, χάρηκες την διαδικασία επίλυσης.

Πιστεύω ακράδαντα ότι τα Μαθηματικά είναι μία κουλτούρα στην οποία πρέπει να έχουν όλοι πρόσβαση. Και αυτό γιατί καλλιεργούν την σκέψη και φέρνουν πνευματική ικανοποίηση, οπότε πρέπει να δώσουμε σε όλους την δυνατότητα να ασχοληθούν με αυτά.

Το τελευταίο που επιθυμούμε είναι οι έτοιμες λύσεις με λογισμικό, όπως στο ποστ #2, που εκμηδενίζουν την χαρά της δημιουργίας.

Κλάσμα πρώτων

Κλάσμα πρώτων

Re: Κλάσμα πρώτων

Re: Κλάσμα πρώτων

Re: Κλάσμα πρώτων

Re: Κλάσμα πρώτων

Μέλη σε σύνδεση