Κουνήσου από τη θέση σου

KARKAR · #1

: Κουνήσου από τη θέση σου.png (14.27 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές

Το σημείο

κινείται στον κύκλο . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου TSP

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2026 10:35 am
Κουνήσου από τη θέση σου.pngΤο σημείο κινείται στον κύκλο . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: Κουνήσου απ' τη θέση σου.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Nikitas K. · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #4

Ας δούμε λύσεις χωρίς τους περιορισμούς που προκύπτουν από το φάκελο ...

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2026 10:35 am
Κουνήσου από τη θέση σου.pngΤο σημείο κινείται στον κύκλο . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Αφήνω προς το παρόν το σταθερό εμβαδόν $(OPS)=\dfrac{24}{5}$ και παίρνω το υπόλοιπο.

: Κουνήσου απ' τη θέση σου.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές

$\displaystyle E(\theta ) = (TOP) + (TOS) = \frac{{24}}{5}\sin \theta + 2\sin (270^\circ - \theta ) = \frac{{24}}{5}\sin \theta - 2\cos \theta$

$\displaystyle E'(\theta ) = \frac{{24}}{5}\cos \theta + 2\sin \theta = 0 \Leftrightarrow \tan \theta = - \frac{{12}}{5},$ απ' όπου $\displaystyle \sin \theta = \frac{{12}}{{13}},\cos \theta = - \frac{5}{{13}}$

Για τις παραπάνω τιμές είναι $\displaystyle E''(\theta ) = - \frac{{24}}{5}\sin \theta + 2\cos \theta = - \frac{{24}}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}} - \frac{{10}}{{13}} < 0,$ οπότε έχουμε μέγιστο εμβαδόν.

Άρα, $\displaystyle {E_{\max }} = \frac{{24}}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}} + \frac{{10}}{{13}} = \frac{{26}}{5} \Rightarrow {(TSP)_{\max }} = {E_{\max }} + \frac{{24}}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{(TSP)_{\rm max}=10}$

Nikitas K. · #6

: Κουνήσου από τη θέση σου.png (35.59 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές

Από το θεώρημα Στιούαρτ στο τρίγωνο $\triangle TOP$ με σεβιανή

προκύπτει ότι:

$x = \dfrac{2}{5} \sqrt{15k^2 + 49}$

Από το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $\triangle TSA$ προκύπτει ότι:

$y = \dfrac{k\pm \sqrt{16 - k^2}}{\sqrt{2}}$

Ο τύπος του Ήρωνα για ένα τρίγωνο με πλευρές a,b,c

και εμβαδού

γράφεται:

$-16E^2=\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]$

Άρα εφαρμόζωντας το, στο τρίγωνο $\triangle TSP$ με χρήση λογισμικού προκύπτει ότι το μέγιστο εμβαδόν είναι ίσο με

και επιτυγχάνεται όταν $k = \dfrac{12}{\sqrt{13}}$

Η περίπτωση $y = \dfrac{k - \sqrt{16 - k^2}}{\sqrt{2}}$ απορρίπτεται, αφού το μέγιστο εμβαδόν πάλι είναι ίσο με

όπως και πριν αλλά αυτή τη φορά επιτυγχάνεται μόνο για αρνητικό

KARKAR · #7

: MAX.png (15.18 KiB) Προβλήθηκε 60 φορές

Συνοπτικά : Η βάση $SP=\dfrac{26}{5}$ (υπολογισμένη με Π.Θ) , είναι σταθερή , επομένως αναζητώ το μέγιστο του ύψους

.

Αυτό θα συμβεί όταν η διακεκομμένη παράλληλη , είναι εφαπτομένη . Τότε : $OM=\dfrac{24}{13}$ , άρα : $E=\dfrac{1}{2}\dfrac{26}{5}\dfrac{50}{13}=10$

Κουνήσου από τη θέση σου

Κουνήσου από τη θέση σου

Re: Κουνήσου από τη θέση σου

Re: Κουνήσου από τη θέση σου

Re: Κουνήσου από τη θέση σου

Re: Κουνήσου από τη θέση σου

Re: Κουνήσου από τη θέση σου

Re: Κουνήσου από τη θέση σου

Μέλη σε σύνδεση