Μέγιστο παράστασης με απόλυτα

#1

Έστω

πραγματικοί τέτοιοι ώστε $|ax+b|\leq 1$ για κάθε $x\in[0,1]$ . Να βρείτε το μέγιστο της παράστασης
$\displaystyle{A=|20a+14b|+|20a-14b|}$ Αλέξανδρος

Al.Koutsouridis · #2

cretanman έγραψε:Έστω πραγματικοί τέτοιοι ώστε $|ax+b|\leq 1$ για κάθε $x\in[0,1]$ . Να βρείτε το μέγιστο της παράστασης
$\displaystyle{A=|20a+14b|+|20a-14b|}$ Αλέξανδρος

Μία διαισθητική προσπάθεια προσέγγισης του προβλήματος...

Ισχύει η ανισότητα

$|z+c| +|z-c| \leq |w+c| +|w-c|$ αν, $|z| \leq |w|$

Αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις, τις οποίες θα ανεβάσω αργότερα, με ύψωση στο τετράγωνο και διαδοχικές ισοδυναμίες μπορούμε σχετικά εύκολα να αποδείξουμε αυτό τον ισχυρισμό.

Αυτό που μας λέει η παραπάνω ανισότητα είναι: αν σταθεροποιήσω το

τότε αν διαλέξω όλο και μεγαλύτερο

κατά απόλυτη τιμή, η τιμή της παράστασης |z+c| +|z-c|

θα αυξάνεται. Λόγο της συμμετρικότητας της παράστασης αν σταθεροποιήσω το

η τιμή της παράστασης θα αυξάνεται αν αυξήσω κατά απόλυτη τιμή το

.

Η παράσταση

είναι της παραπάνω μορφής. Οπότε αν διαλέξουμε τα a,b

έτσι ώστε να μεγιστοποιούνται κατά απόλυτη τιμή τότε θα επιτύγχουμε και το μέγιστο. Ποιές είναι όμως οι μέγιστες τιμές που μπορουν να πάρουν τα a,b

;

Από τους περιορισμούς της εκφώνησης παρατηρούμε ότι η παράσταση y = ax+b

, που εκφράζει ένα ευθύγραμμο τμήμα για τα αποδεκτά

στο δίαστημα [0,1]

, πρέπει εξ ολοκλήρου να βρίσκεται στο ορθογώνιο που ορίζεται από τα σημεία A(0,-1) , B(0,1) , C(1,1), D(1,-1)

και μάλιστα ο φορέας του ευθύγραμμου τμήματος να μην τέμνει αυτό το ορθογώνιο στις "οριζόντιες" πλευρές BC, AD

.

Από τα παραπάνω βλέπουμε εύκολα ότι το μέγιστο κατά απόλυτη τιμή

, η κλίση της ευθείας, επιτυγχάνεται όταν το τμήμα ταυτίζεται με μία από τις διαγωνίους AC, BD

. Σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε ότι και το

λαμβάνει την μέγιστη κατά απόλυτη τιμή του που είναι

. (αφού αν θέσουμε x=0

στους περιορισμούς θα είναι $|b| \leq 1$ ).

Επομένως μέγιστο επιτυγχάνεται όταν |a|=2 , |b|=1

. Από αυτές τις τιμές αποδεκτές λόγο περιορισμών είναι οι:

a=2, b=-1

και

και δίνουν μέγιστο A=80

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε:
cretanman έγραψε:Έστω πραγματικοί τέτοιοι ώστε $|ax+b|\leq 1$ για κάθε $x\in[0,1]$ . Να βρείτε το μέγιστο της παράστασης
$\displaystyle{A=|20a+14b|+|20a-14b|}$ Αλέξανδρος
Μία διαισθητική προσπάθεια προσέγγισης του προβλήματος...

Ισχύει η ανισότητα

$|z+c| +|z-c| \leq |w+c| +|w-c|$ αν, $|z| \leq |w|$

Αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις, τις οποίες θα ανεβάσω αργότερα, με ύψωση στο τετράγωνο και διαδοχικές ισοδυναμίες μπορούμε σχετικά εύκολα να αποδείξουμε αυτό τον ισχυρισμό.

Η ανισότητα μπορεί να αποδειχθεί ως εξής:

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $z,w\geq 0$ και $c\geq 0$

Αν $0\leq z,w\leq c$ τότε και τα δύο είναι

ισχύει.

Αν w> c

τότε το δεξιό μέλος είναι

ενώ το αριστερό

η

και πάλι ισχύει.

Εχω και πιο 'καθαρή' λύση.
Αν δεν γραφεί θα την γράψω αργότερα.

Al.Koutsouridis · #4

Μία άλλη προσέγγιση θα μπορούσε να είναι:

Θεωρούμε το καρτεσιανό σύστημα αξόνων και το γεωμετρικό τόπο των σημείων

|x+y|+|x-y| = c

, όπου

μια σταθερά

Ο γεωμτετρικός αυτός τόπος είναι ένα τετράγωνο πλευράς

με κέντρο την αρχή των αξόνων και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες.
Η αλλαγή μεταβλητής $x \rightarrow tx , t>1$ προκαλεί μια συστολή του τετραγώνου στην

διεύθυνση. Ομοίως για την

διεύθυνση. Οπότε η παράσταση

θα προκαλέσει μια συστολή κατά 20 φορές στην διευθυνση

και 14 φορές στη διυεθυνση

.

Για τα a,b

όπως δείξαμε στην προηγούμενη ανάρτηση ισχύει $|a| \leq 2, |b| \leq 1$ .

Ψάχνουμε δηλαδή τώρα στην ουσία το μεγαλύτερο

που θα ικανοποιεί τους παραπάνω περιορισμούς. Εύκολα βλέπουμε ότι τους παραπάνω περιορισμούς πρώτα τους "σπάει" η

διεύθυνση. Αφού αν διαλέξουμε c >80

η συστολή που θα προκαλέσει το 20a

δε θα αρκεί για να το κρατήσει στα όρια του διαστήματος [-2,2]

.

Μένει να δείξουμε ότι υπάρχουν τιμές που επιτυγχάνουν αυτό το μέγιστο. Όντως για a=2, b=-1

και

.

#5

Άλλη μία προσέγγιση. Για x=0

παίρνουμε ότι $|b|\leq 1$ . Για x=1

παίρνουμε $|a+b|\leq 1$ οπότε από την τριγωνική
$|a|\leq |b|+1\leq 2$ .

Επιπλέον ανάλογα με τα πρόσημα των 20a+14b

και

η παράσταση

έχει τέσσερεις πιθανές τιμές:
A=40a

ή

.

Συνεπώς |A|=40|a|

ή

. Οπότε $|A|\leq\max\{40|a|,28|b|\}$ οπότε $Α\leq |A|\leq 80$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Την ίδια λύση είχα με τον Σιλουανό.
Με διαφορετικό τελείωμα.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι a> 0

.
Αν $a\leq 1$ τότε η παράσταση είναι $\leq 20+14+20+14=64$
Αν a> 1

η παράσταση είναι 20a+14b+20a-14b=40a

και προφανώς η μέγιστη τιμή της είναι

Μέγιστο παράστασης με απόλυτα

Μέγιστο παράστασης με απόλυτα

Re: Μέγιστο παράστασης με απόλυτα

Re: Μέγιστο παράστασης με απόλυτα

Re: Μέγιστο παράστασης με απόλυτα

Re: Μέγιστο παράστασης με απόλυτα

Re: Μέγιστο παράστασης με απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση