Ανισότητα για JBMO!

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω

θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b+c=3

.

Να δείξετε ότι $\dfrac{1}{2+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2+c^2+a^2} \leqslant \dfrac{3}{4}$ .

Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{2}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{2 + {a^2} + {b^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 3 - \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \ge \frac{3}{2}.}$

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} = \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{cyc} {\left( {2 + {a^2} + {b^2}} \right)} }} = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{b^2} + {c^2}} } } \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} +3 \right) }}.}$

Αλλά, πάλι εφαρμόζοντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz, έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{b^2} + {c^2}} } \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {{b^2} + ac} \right)} = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right),}$

οπότε

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \ge \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = \frac{3}{2}}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

Ορέστης Λιγνός · #3

emouroukos έγραψε:Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{2}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{2 + {a^2} + {b^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 3 - \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \ge \frac{3}{2}.}$

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} = \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{cyc} {\left( {2 + {a^2} + {b^2}} \right)} }} = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{b^2} + {c^2}} } } \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} +3 \right) }}.}$

Αλλά, πάλι εφαρμόζοντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz, έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{b^2} + {c^2}} } \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {{b^2} + ac} \right)} = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right),}$

οπότε

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \ge \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = \frac{3}{2}}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

Ανισότητα για JBMO!

Ανισότητα για JBMO!

Re: Ανισότητα για JBMO!

Re: Ανισότητα για JBMO!

Μέλη σε σύνδεση