ελάχιστη τιμή παράστασης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Για κάθε $n \in \mathbb{N}$ και $x\in \mathbb{R}$
ορίζουμε την παράσταση:

$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2k+1} x + \sin^{2k+1} x \right )}$

Αν το

είναι σταθερό να προσδιοριστεί το ελάχιστο της καθώς και οι τιμές του

για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Ιουν 07, 2020 2:34 pm Για κάθε $n \in \mathbb{N}$ και $x\in \mathbb{R}$
ορίζουμε την παράσταση:

$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2k+1} x + \sin^{2k+1} x \right )}$

Αν το είναι σταθερό να προσδιοριστεί το ελάχιστο της καθώς και οι τιμές του για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται.

Αρχικά θα μελετήσουμε την $\rm f(x)=\cos^{2k+1}x+\sin^{2k+1}x,k\in \mathbb{N}$ .
Μηδενίζεται για $\rm \cos x_0=-\sin x_0=\sin(-x_0)\Leftrightarrow \sin(\dfrac{\pi}{2}-x_0)=\sin(-x_0)$ από όπου $\rm \dfrac{\pi}{2}-x_0=-x_0+2l\pi$ άτοπο ή $\rm \dfrac{\pi}{2}-x_0=\pi+x_0+2lk \Leftrightarrow x_0=-\dfrac{\pi}{4}+lp,l \in \mathbb{N}$ .Επειδή λοιπόν για κάθε $\rm k$ έχουμε ίδιες ρίζες το πρόσημο του $\rm \cos^{2k+1}x+\sin^{2k+1}x$ είναι ίδιο για $\rm k=1,2...,n$ και έτσι αν $\rm n$ άρτιος το ζητούμενο ελάχιστο είναι το

για $\rm x=-\dfrac{\pi}{4}+lp,l \in \mathbb{N}$ .
Έστω ότι $\rm n$ περιττός.Είναι $\rm f'(x)=(2k+1) \sin x \cos x(\sin^{2k-1}x-\cos^{2k-1}x)$ .
Η $\rm f'$ έχει ρίζες στο $[0,2\pi)$ τις $\rm 0,\pi/4,\pi/2,\pi,5/4\pi,3/2\pi$ με την βοήθεια των οποίων κατασκευάζουμε τον πίνακα μονοτονίας της $\rm f$ και βλέπουμε πως $\rm 1\geq f(x)\geq -1$ με το

για $\rm x=(2l+1)\pi,\dfrac{4l+3}{2}\pi,l \in \mathbb{N}$
Έτσι η ελάχιστη τιμή θα είναι το $\rm -1$ όταν όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι με $\rm -1$ (αναγκαστικά όλοι ομόσημοι όπως δείξαμε παραπάνω) για $\rm x=(2l+1)\pi,\dfrac{4l+3}{2}\pi,l \in \mathbb{N}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Γειά σου Πρόδρομε.
Είναι απλούστερο .

Εχουμε ότι

$-1\leq \cos^{2k+1}x+\sin^{2k+1}x\leq 1$

και οι ισότητες πιάνονται.
Αρα αν ο

είναι περιττός το ελάχιστο είναι

Επίσης το πρόσημο του

$\cos^{2k+1}x+\sin^{2k+1}x$

είναι το ίδιο με το πρόσημο του

$\cos x+\sin x$

Ετσι αν ο

είναι άρτιος το ελάχιστο είναι

κλπ

ελάχιστη τιμή παράστασης

ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: ελάχιστη τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση