Ανισότητα v2

Lymperis Karras · #1

Αν

θετικοί πραγματικοί, να αποδείξετε ότι $(x+\frac{2}{y})(\frac{y}{x}+2)\geq 8$ . Πότε ισχύει η ισότητα?

#2

Lymperis Karras έγραψε: Τρί Μαρ 30, 2021 6:37 pm Αν θετικοί πραγματικοί, να αποδείξετε ότι $(x+\frac{2}{y})(\frac{y}{x}+2)\geq 8$ . Πότε ισχύει η ισότητα?

$\displaystyle \left( {x + \frac{2}{y}} \right)\left( {\frac{y}{x} + 2} \right) = 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + \left( {y + \frac{4}{y}} \right) \ge 4 + 4 = 8$

Η ισότητα όταν x=1, y=2.

Joaakim · #3

Αλλιώς.
Από την ανισότητα αριθμητικού- γεωμετρικού μέσου έχω ότι
- $(x+\frac{2}{y}) \ge 2 \sqrt{ \frac {2x}{y}}$ . (1)

- $(\frac{y}{x}+2) \ge 2 \sqrt{ \frac {2y}{x}}$ . (2)

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (1)

και

παίρνω ότι
$(x+\frac{2}{y})(\frac{y}{x}+2) \ge 4 (\sqrt { \frac {4xy}{xy}})=4 \sqrt {4}=4 \cdot 2 =8$ ,
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Η ισότητα πιάνεται όταν πιάνονται οι ισότητες στις (1)

και

, δηλαδή
$x+\frac{2}{y}=2 \sqrt{ \frac {2x}{y}}, \frac{y}{x}+2=2 \sqrt{ \frac {2y}{x}} \Rightarrow$
$\Rightarrow xy+2=2y \sqrt{ \frac {2x}{y}}, 2x+y=2x \sqrt{\frac{2y}{x}} \Rightarrow$
$\Rightarrow x^{2} y^{2}+4=4y^{2} \frac {2x}{y}=8xy, 4x^{2}+4xy+y^{2}=4x^{2} \frac{2y}{x}=8xy \Rightarrow$
$\Rightarrow (xy-2)^{2}=0, (2x-y)^{2}=0 \Rightarrow xy-2=0, 2x-y=0 \Rightarrow xy=2, y=2x \Rightarrow$
$\Rightarrow 2x^{2}=2, y=2x \Rightarrow x^{2}=1, y=2x \Rightarrow x=1, y=2$ .

Ανισότητα v2

Ανισότητα v2

Re: Ανισότητα v2

Re: Ανισότητα v2

Μέλη σε σύνδεση