Γεωμετρική ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω τρίγωνο ABC

και

οι διάμεσοι που άγονται από τις κορυφές A,B,C

αντίστοιχα.
Αν ακόμη η περίμετρος του ABC

είναι

, να δείξετε ότι :

$m_a^2+m_b^2+m_c^2 \geq \dfrac{3\sqrt{6abc}}{2}-1$ .

Υ.Γ. Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής. Σε περίπτωση λάθους, σας παρακαλώ να μου το επισημάνετε.

#2

Νομίζω είναι μια χαρά Ορέστη!

Είναι γνωστό (θεώρημα διαμέσων) ότι $m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ και κυκλικά για τις υπόλοιπες διαμέσους. Αντικαθιστώντας στην αρχική, θέλουμε να αποδείξουμε ότι $3(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt{6abc}-4$ δηλαδή ισοδύναμα $3(a+b+c)^2-6(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{6abc}-4$ και αντικαθιστώντας a+b+c=2

, θέλουμε να δείξουμε $ab+bc+ca+\sqrt{6abc}\leq \dfrac{8}{3}$ που ισχύει καθώς

$ab+bc+ca\leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{4}{3}$ και

$\sqrt{6abc}\leq \sqrt{6\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3}=\dfrac{4}{3}$

Αλέξανδρος

Γεωμετρική ανισότητα!

Γεωμετρική ανισότητα!

Re: Γεωμετρική ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση