Ρητές λύσεις

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Ρητές λύσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Ιαν 28, 2017 9:56 pm

Έχει η εξίσωση: x^{2017}-2017x+3=0, ρητές ρίζες;


Bye :')

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ρητές λύσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Ιαν 29, 2017 11:39 am

Μια προσπάθεια, αν και δεν είμαι πολύ εξοικειωμένος με τα πολυώνυμα.

Η συγκεκριμένη πολυωνυμική εξίσωση έχει ακέραιους συντελεστές και ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι ο 1.

Άρα αν έχει ρητές ρίζες, τότε αυτές θα είναι ακέραιες και διαιρέτες του σταθερού όρου, δηλαδή του 3.

Συνεπώς οι μοναδικές περιπτώσεις που χρειάζεται να δοκιμάσουμε είναι οι 1, 3, -1 και -3, καμία όμως δεν επαληθεύει.

Επομένως η εξίσωση δεν έχει ρητές λύσεις.


Houston, we have a problem!
thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Ρητές λύσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Κυρ Ιαν 29, 2017 12:08 pm

Καλημέρα Δημήτρη και Διονύση,
Ας μου επιτραπεί να δώσω μια λύση πιο γενική σχετικά με τις ρητές ρίζες πολυωνύμων χρησιμοποιώντας ένα αρκετά απλό και όμορφο θεώρημα.
Είναι γνωστό πως αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει ρητή ρίζα \frac{\kappa }{\lambda } με (\kappa,\lambda)=1 τότε
\lambda |a_n και \kappa |a_0 άρα \lambda |1 \Rightarrow \lambda =\pm1 και
\kappa =\pm3 ή \kappa =\pm1 και από εκεί και πέρα παρατηρούμε ότι καμία από αυτές τις τιμές δεν μπορεί να αποτελέσει ρίζα της εξίσωσης.
Φιλικά,
Θράσος


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Ρητές λύσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Ιαν 29, 2017 12:18 pm

:coolspeak:


Bye :')
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης