mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 01, 2017 8:26 pm**

Να δειχθεί ότι, για περιττό

, το πολυώνυμο (x-1)^n(x^n+1)+(x+1)^n

δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των x=0

και

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 25, 2017 12:54 pm**

gbaloglou έγραψε:Να δειχθεί ότι, για περιττό , το πολυώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των και .

Επαναφορά!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 25, 2017 12:57 pm**

Ουσιαστικά αρκεί $\dfrac{P(x)}{x(x+1)}>0$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 25, 2017 10:03 pm**

Πολύ ωραίο.
Αν το θέσουμε p(x)

Αρκεί να δείξουμε ότι
$x\geq 1\Rightarrow p(x)> 0,0< x< 1\Rightarrow p(x)> 0,-1< x< 0\Rightarrow p(x)< 0$
και
$x<-1\Rightarrow p(x)> 0$
Το πρώτο είναι προφανές.
Τα άλλα γίνονται με επαγωγή ως εξής.

Το δεύτερο γράφεται $x^{n}+1< (\dfrac{x+1}{1-x})^{n}$

και σε αυτήν την μορφή κάνουμε επαγωγή.
Στις άλλες μορφές φτιάχνουμε όμοιες ανισοτικές σχέσεις (η φορά τις ανισότητας αλλάζει)
και κάνουμε επαγωγή.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 26, 2017 1:58 pm**

Σημαδιακό το ότι η λύση εμφανίζεται, έστω και σκιαγραφημένη, περίπου ("on or about") στα γενέθλια (facebook) του Σωτήρη Λουρίδα, που είναι και ο ουσιαστικός δημιουργός του προβλήματος! (Πως και γιατί θα αποκαλυφθεί αργότερα, δίνω τώρα την ευκαιρία και για άλλες λύσεις, μία από τις οποίες θα είναι δική μου, άνευ επαγωγής...)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 26, 2017 2:15 pm**

gbaloglou έγραψε:Σημαδιακό το ότι η λύση εμφανίζεται, έστω και σκιαγραφημένη, περίπου ("on or about") στα γενέθλια (facebook) του Σωτήρη Λουρίδα, που είναι και ο ουσιαστικός δημιουργός του προβλήματος! (Πως και γιατί θα αποκαλυφθεί αργότερα, δίνω τώρα την ευκαιρία και για άλλες λύσεις, μία από τις οποίες θα είναι δική μου, άνευ επαγωγής...)

Γεια σου Γιώργο.
Δεν την έγραψα αναλυτικά γιατί είναι πολλές πράξεις.Και είναι πράξεις ρουτίνας.
Που στο χαρτί γίνονται σε πέντε λεπτά αλλά στο tex μπορεί να μου πάρει και ώρα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 06, 2017 8:06 pm**

Η δική μου λύση:
Αρκεί να δειχθεί, όπως ήδη παρατηρήθηκε, ότι P(x)<0

αν και μόνον αν -1<x<0

. Αυτό προκύπτει άμεσα από την ισότητα

$P(x)=(x+1)[x(x-1)^{n+1}(x^{n-3}+...+x^2+1)+(x-1)^n+(x+1)^{n-1}]$

και το γεγονός ότι το άθροισμα $(x-1)^n+(x+1)^{n-1}$ είναι θετικό για x>0