Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

glinos · #1

Για κάθε $n\in \mathbb{N}^{\ast}$ να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k^{3}+k^{2}+1}{k^{2}+k}= \dfrac{n\left ( n^{2}+2n+3 \right )}{2\left ( n+1 \right )}}$

Tolaso J Kos · #2

glinos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:02 pm
Για κάθε $n\in \mathbb{N}^{\ast}$ να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k^{3}+k^{2}+1}{k^{2}+k}= \dfrac{n\left ( n^{2}+2n+3 \right )}{2\left ( n+1 \right )}}$

Παρατηρούμε ότι:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3+k^2+1}{k^2+k} &= \sum_{k=1}^{n} \left ( k + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right ) \\ &=\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{n+1} \\ &=\frac{n(n+1)^2}{2(n+1)} + \frac{n}{n+1} \\ &= \frac{n \left ( n^2+2n+3 \right )}{2(n+1)} \end{aligned}}$
αφού ως γνωστόν είναι $\sum \limits_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ και $\sum \limits_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right ) = 1 - \frac{1}{n+1}$ ως τηλεσκοπικό.

Γ Γυμνασίου; Μάλλον όχι ! Σε κάποιο άλλο φάκελο ναι!

#3

Μετακινήθηκε στον κατάλληλο φάκελο. Παρακαλώ λίγη προσοχή που τοποθετούμε τα θέματα.

Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

Re: Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

Re: Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση