Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2554
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Απρ 03, 2018 6:42 pm

Να δειχθεί ότι αν 3d\geq b+d\geq a\geq b\geq c\geq d>0 και 3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(a+b)(c+d)+4 τότε a+b\geq 2.

Σχόλιο: Το πρόβλημα αυτό είναι εμπνευσμένο από τον φετινό προκριματικό των νέων, αλλά δεν είναι σίγουρο ότι όλες οι υποθέσεις είναι απαραίτητες. Για παράδειγμα, δεν είμαστε σίγουροι ότι η υπόθεση 3d\geq b+d\geq a είναι απαραίτητη, αλλά με αυτή ισχύει το συμπέρασμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2544
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Απρ 12, 2018 1:20 am

Αυτό το μάλλον άσχημο αλλά πολύ ενδιαφέρον αποτέλεσμα ... προκύπτει άμεσα από το εξής λήμμα:

Αν 3d\geq b+d\geq a\geq b\geq c\geq d>0 και a+b<2 τότε 3(a^2+b^2+c^2+d^2)<2(a+b)(c+d)+4.

Το λήμμα αυτό μπορεί πιθανότατα να αποδειχθεί και με στοιχειώδη μέσα, εδώ δίνω απόδειξη με χρήση Λογισμού (μίας ουσιαστικά μεταβλητής):

Θέτοντας c=d+r, b=d+s, a=d+t, οι συνθήκες 3d\geq b+d\geq a\geq b\geq c\geq d>0 και a+b<2 δίνουν

d\geq s, d\geq t-s, t\geq s\geq r\geq 0 και d<\dfrac{2-s-t}{2}, αντίστοιχα.

Συνδυάζοντας τις d\geq s, d<\dfrac{2-s-t}{2} και d\geq t-s, d<\dfrac{2-s-t}{2} λαμβάνουμε την ανισότητα-κλειδί

3t-2<s<\dfrac{2-t}{3},

από την οποία προκύπτει άμεσα η επίσης πολύ σημαντική συνθήκη t<\dfrac{4}{5}.

Θεωρώντας τώρα την συνάρτηση

F(d)=2(a+b)(c+d)+4-3(a^2+b^2+c^2+d^2)=

=2(2d+t+s)(2d+r)+4-3(4d^2+2(t+s+r)d+t^2+s^2+r^2)=

=-4d^2-2(r+s+t)d+2r(s+t)+4-3(r^2+s^2+t^2)

παρατηρούμε ότι η απόδειξη του λήμματος, δηλαδή της F(d)>0 για 0<d< \dfrac{2-s-t}{2}, ανάγεται, λόγω της F'(d)<0, στην απόδειξη της F\left(\dfrac{2-s-t}{2}\right)>0, δηλαδή στην απόδειξη της ανισότητας

2s+2t-2r+3rs+3rt-3r^2-3s^2-3t^2>0,

για 0\leq r\leq s\leq t<\dfrac{4}{5} και 3t-2<s<\dfrac{2-t}{3} πάντοτε.

Θεωρώντας την συνάρτηση

G(r)=-3r^2+3(s+t)r+2s+2t-3s^2-3t^2,

παρατηρούμε ότι η ζητούμενη παραπάνω ανισότητα προκύπτει από τις G'(r)=-6r+3s+3t\geq 0 και G(0)>0: η πρώτη ανισότητα είναι άμεση συνέπεια της 0\leq r\leq s\leq t, η δεύτερη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την

2s+2t-3s^2-3t^2>0.

Λόγω και της 0\leq s\leq t, η παραπάνω ανισότητα είναι προφανής για t<\dfrac{2}{3}.

Για \dfrac{2}{3}\leq t\leq \dfrac{4}{5} αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η ωρισμένη στο \left[3t-2, \dfrac{2-t}{3}\right] συνάρτηση

H(s)=-3s^2+2s+2t-3t^2

είναι κοίλη λόγω της H''(s)=-6<0, ενώ ισχύουν και οι ανισότητες H(3t-2)>0 και H\left(\dfrac{2-t}{3}\right)>0: η πρώτη είναι ισοδύναμη προς την -30t^2+44t-16>0, που ισχύει για \dfrac{2}{3}<t<\dfrac{4}{5}, η δεύτερη είναι ισοδύναμη προς την \dfrac{-10t^2+8t}{3}>0, που ισχύει για 0<t<\dfrac{4}{5}.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2544
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Απρ 13, 2018 6:20 pm

achilleas έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 6:42 pm
Να δειχθεί ότι αν 3d\geq b+d\geq a\geq b\geq c\geq d>0 και 3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(a+b)(c+d)+4 τότε a+b\geq 2.

Σχόλιο: Το πρόβλημα αυτό είναι εμπνευσμένο από τον φετινό προκριματικό των νέων, αλλά δεν είναι σίγουρο ότι όλες οι υποθέσεις είναι απαραίτητες. Για παράδειγμα, δεν είμαστε σίγουροι ότι η υπόθεση 3d\geq b+d\geq a είναι απαραίτητη, αλλά με αυτή ισχύει το συμπέρασμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Υπάρχουν αντιπαραδείγματα, για a=1 και b=0,9 πχ ... το συνημμένο δείχνει τι συμβαίνει όταν ΔΕΝ ισχύει η b+d\geq a\leftrightarrow d\geq 0,1.
b+d-smaller-than-a.png
b+d-smaller-than-a.png (25.08 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2544
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Απρ 14, 2018 1:36 pm

Λίγο πιο δύσκολο το αντιπαράδειγμα όπου δεν ισχύει η a+b\geq2 λόγω μη ισχύος της 3d\geq b+d: αρχίζουμε και πάλι με a=1, b=0,9 ... και επιλύουμε την 3(1^2+0,9^2+c^2+x^2)=2(1+.9)(c+x)+4 για διάφορες τιμές του c ώστε να προκύψει λύση τέτοια ώστε c\geq x\geq 1-0,9 KAI 3x<0,9+x\leftrightarrow x<0.45: για c=0,1 λαμβάνουμε x\approx 0,43 & x\approx 0,83, για c=0,2 λαμβάνουμε x\approx 0,26 & x\approx 1, για c=0,3 λαμβάνουμε x\approx 0,17 & x\approx 1,09.

Μπορούμε λοιπόν να επιλέξουμε d=\dfrac{19-\sqrt{193}}{30}\approx 0,17, c=0,3, b=0,9, a=1 ... οπότε ισχύουν οι d\leq c\leq b\leq a\leq b+d και 3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(a+b)(c+d)+4 αλλά ΔΕΝ ισχύουν οι 3d\geq b+d και a+b\geq 2.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2544
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Απρ 15, 2018 11:01 am

Ας παρατηρηθεί σε σχέση με τα προηγηθέντα το εξής: με σταθερά a, b η δοθείσα συνθήκη 3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(a+b)(c+d)+4 γράφεται ως

\left[c-\left(\dfrac{a+b}{3}\right)\right]^2+\left[d-\left(\dfrac{a+b}{3}\right)\right]^2=\left(\dfrac{\sqrt{12-9a^2-9b^2+2(a+b)^2}}{3}\right)^2.

Βεβαίως για να υπάρχει ο κύκλος επί του οποίου κείνται τα c, d απαιτείται η 12-9a^2-9b^2+2(a+b)^2>0, οφείλουν δηλαδή να κείνται τα a, b εντός μιας κάποιας έλλειψης. 'Εχουμε ήδη δει ότι, σε συνδυασμό και με την άλλη δοθείσα συνθήκη, 3d\geq b+d\geq a\geq b\geq c\geq d>0, προκύπτει και η συνθήκη a+b\geq 2: εδώ ... κάνουμε πλέον την προσευχή μας ευχόμενοι να περνάει η ευθεία a+b=2 ΜΕΣΑ από την έλλειψη 12-9a^2-9b^2+2(a+b)^2=0 ... και ευτυχώς αυτό συμβαίνει (βλ. συνημμένο)!

Είναι βέβαια πολύ μικρό το 'χωρίο ύπαρξης' του προβλήματος, ιδίως επειδή ο 'ελλειπτικός' περιορισμός για τα a, b ισχύει (μέσω αντιστροφής ρόλων) ΚΑΙ για τα c, d, αλλά ... αυτό θα μπορούσε κάλλιστα να συμβαίνει σε κάποιο ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ πρόβλημα! (Αρχή μου είναι ότι ένα πρόβλημα είναι ενδιαφέρον αν και μόνον αν είναι είτε όμορφο είτε χρήσιμο: το πρόβλημα που μας έστειλε ο Αχιλλέας ΔΕΝ είναι όμορφο, είναι όμως το είδος του προβλήματος που θα μπορούσε κάλλιστα να προκύψει από συνθήκες κάποιου άλλου, πραγματικού προβλήματος!)
Συνημμένα
regionab.png
regionab.png (23.36 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2554
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Απρ 22, 2018 9:23 pm

achilleas έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 6:42 pm
Να δειχθεί ότι αν 3d\geq b+d\geq a\geq b\geq c\geq d>0 και 3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(a+b)(c+d)+4 τότε a+b\geq 2.

Σχόλιο: Το πρόβλημα αυτό είναι εμπνευσμένο από τον φετινό προκριματικό των νέων, αλλά δεν είναι σίγουρο ότι όλες οι υποθέσεις είναι απαραίτητες. Για παράδειγμα, δεν είμαστε σίγουροι ότι η υπόθεση 3d\geq b+d\geq a είναι απαραίτητη, αλλά με αυτή ισχύει το συμπέρασμα.
....

Γιώργο, ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση σου με το πρόβλημα αυτό.

Παραθέτω μια αλγεβρική λύση, η ιδέα της οποίας βασίζεται στο σχήμα που παρατίθεται στον παραπάνω σύνδεσμο.

Από τις υποθέσεις, έχουμε b\geq a-d\geq 0 και d\geq b-d\geq 0, και παίρνουμε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
ab&=(a-d)b+(b-d)d+d^2\\ 
    &\geq (a-d)^2+(b-d)^2+d^2 
\end{aligned} 
}

Επίσης, b+c\geq b+d\geq a, οπότε b\geq a-c\geq 0 και 2c\geq 2d\geq b, οπότε c\geq b-c\geq 0. Έτσι, έχουμε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
ab&=(a-c)b+(b-c)c+c^2\\ 
    &\geq (a-c)^2+(b-c)^2+c^2 
\end{aligned} 
}

Συνεπώς,

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
(a+b)^2&=a^2+b^2+ab+ab\\ 
            &\geq a^2+b^2+(a-d)^2+(b-d)^2+d^2+(a-c)^2+(b-c)^2+c^2\\ 
           &=3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(a+b)(c+d)\\ 
           &=4\\ 
\end{aligned} 
}

απ' όπου το συμπέρασμα έπεται.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2544
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Απρ 22, 2018 11:04 pm

Αχιλλέα σ' ευχαριστούμε και εμείς για την δεξιοτεχνική -- και κατά βάθος γεωμετρική -- λύση (και κατασκευή) σου! Το γεγονός ότι δεν έδωσε κανείς άλλος στοιχειώδη λύση καταμαρτυρεί την δυσκολία εξεύρεσης της.

Στην δική μου λύση επισήμανα ότι η συνθήκη 3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(a+b)(c+d)+4 μπορεί να αντικατασταθεί από την 3(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq2(a+b)(c+d)+4: αυτό ισχύει προφανώς και για την δική σου λύση.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης