Ανισότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Ανισότητα
Να δειχθεί ότι αν και τότε
Σχόλιο: Το πρόβλημα αυτό είναι εμπνευσμένο από τον φετινό προκριματικό των νέων, αλλά δεν είναι σίγουρο ότι όλες οι υποθέσεις είναι απαραίτητες. Για παράδειγμα, δεν είμαστε σίγουροι ότι η υπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά με αυτή ισχύει το συμπέρασμα.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Σχόλιο: Το πρόβλημα αυτό είναι εμπνευσμένο από τον φετινό προκριματικό των νέων, αλλά δεν είναι σίγουρο ότι όλες οι υποθέσεις είναι απαραίτητες. Για παράδειγμα, δεν είμαστε σίγουροι ότι η υπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά με αυτή ισχύει το συμπέρασμα.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Αυτό το μάλλον άσχημο αλλά πολύ ενδιαφέρον αποτέλεσμα ... προκύπτει άμεσα από το εξής λήμμα:
Αν και τότε .
Το λήμμα αυτό μπορεί πιθανότατα να αποδειχθεί και με στοιχειώδη μέσα, εδώ δίνω απόδειξη με χρήση Λογισμού (μίας ουσιαστικά μεταβλητής):
Θέτοντας , , , οι συνθήκες και δίνουν
, , και , αντίστοιχα.
Συνδυάζοντας τις , και , λαμβάνουμε την ανισότητα-κλειδί
,
από την οποία προκύπτει άμεσα η επίσης πολύ σημαντική συνθήκη .
Θεωρώντας τώρα την συνάρτηση
παρατηρούμε ότι η απόδειξη του λήμματος, δηλαδή της για , ανάγεται, λόγω της , στην απόδειξη της , δηλαδή στην απόδειξη της ανισότητας
για και πάντοτε.
Θεωρώντας την συνάρτηση
,
παρατηρούμε ότι η ζητούμενη παραπάνω ανισότητα προκύπτει από τις και : η πρώτη ανισότητα είναι άμεση συνέπεια της , η δεύτερη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την
Λόγω και της , η παραπάνω ανισότητα είναι προφανής για .
Για αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η ωρισμένη στο συνάρτηση
είναι κοίλη λόγω της , ενώ ισχύουν και οι ανισότητες και : η πρώτη είναι ισοδύναμη προς την , που ισχύει για , η δεύτερη είναι ισοδύναμη προς την , που ισχύει για .
Αν και τότε .
Το λήμμα αυτό μπορεί πιθανότατα να αποδειχθεί και με στοιχειώδη μέσα, εδώ δίνω απόδειξη με χρήση Λογισμού (μίας ουσιαστικά μεταβλητής):
Θέτοντας , , , οι συνθήκες και δίνουν
, , και , αντίστοιχα.
Συνδυάζοντας τις , και , λαμβάνουμε την ανισότητα-κλειδί
,
από την οποία προκύπτει άμεσα η επίσης πολύ σημαντική συνθήκη .
Θεωρώντας τώρα την συνάρτηση
παρατηρούμε ότι η απόδειξη του λήμματος, δηλαδή της για , ανάγεται, λόγω της , στην απόδειξη της , δηλαδή στην απόδειξη της ανισότητας
για και πάντοτε.
Θεωρώντας την συνάρτηση
,
παρατηρούμε ότι η ζητούμενη παραπάνω ανισότητα προκύπτει από τις και : η πρώτη ανισότητα είναι άμεση συνέπεια της , η δεύτερη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την
Λόγω και της , η παραπάνω ανισότητα είναι προφανής για .
Για αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η ωρισμένη στο συνάρτηση
είναι κοίλη λόγω της , ενώ ισχύουν και οι ανισότητες και : η πρώτη είναι ισοδύναμη προς την , που ισχύει για , η δεύτερη είναι ισοδύναμη προς την , που ισχύει για .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Υπάρχουν αντιπαραδείγματα, για και πχ ... το συνημμένο δείχνει τι συμβαίνει όταν ΔΕΝ ισχύει η .achilleas έγραψε: ↑Τρί Απρ 03, 2018 6:42 pmΝα δειχθεί ότι αν και τότε
Σχόλιο: Το πρόβλημα αυτό είναι εμπνευσμένο από τον φετινό προκριματικό των νέων, αλλά δεν είναι σίγουρο ότι όλες οι υποθέσεις είναι απαραίτητες. Για παράδειγμα, δεν είμαστε σίγουροι ότι η υπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά με αυτή ισχύει το συμπέρασμα.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Λίγο πιο δύσκολο το αντιπαράδειγμα όπου δεν ισχύει η λόγω μη ισχύος της : αρχίζουμε και πάλι με , ... και επιλύουμε την για διάφορες τιμές του ώστε να προκύψει λύση τέτοια ώστε KAI : για λαμβάνουμε & , για λαμβάνουμε & , για λαμβάνουμε & .
Μπορούμε λοιπόν να επιλέξουμε , , , ... οπότε ισχύουν οι και αλλά ΔΕΝ ισχύουν οι και .
Μπορούμε λοιπόν να επιλέξουμε , , , ... οπότε ισχύουν οι και αλλά ΔΕΝ ισχύουν οι και .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Ας παρατηρηθεί σε σχέση με τα προηγηθέντα το εξής: με σταθερά , η δοθείσα συνθήκη γράφεται ως
Βεβαίως για να υπάρχει ο κύκλος επί του οποίου κείνται τα , απαιτείται η , οφείλουν δηλαδή να κείνται τα , εντός μιας κάποιας έλλειψης. 'Εχουμε ήδη δει ότι, σε συνδυασμό και με την άλλη δοθείσα συνθήκη, , προκύπτει και η συνθήκη : εδώ ... κάνουμε πλέον την προσευχή μας ευχόμενοι να περνάει η ευθεία ΜΕΣΑ από την έλλειψη ... και ευτυχώς αυτό συμβαίνει (βλ. συνημμένο)!
Είναι βέβαια πολύ μικρό το 'χωρίο ύπαρξης' του προβλήματος, ιδίως επειδή ο 'ελλειπτικός' περιορισμός για τα , ισχύει (μέσω αντιστροφής ρόλων) ΚΑΙ για τα , , αλλά ... αυτό θα μπορούσε κάλλιστα να συμβαίνει σε κάποιο ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ πρόβλημα! (Αρχή μου είναι ότι ένα πρόβλημα είναι ενδιαφέρον αν και μόνον αν είναι είτε όμορφο είτε χρήσιμο: το πρόβλημα που μας έστειλε ο Αχιλλέας ΔΕΝ είναι όμορφο, είναι όμως το είδος του προβλήματος που θα μπορούσε κάλλιστα να προκύψει από συνθήκες κάποιου άλλου, πραγματικού προβλήματος!)
Βεβαίως για να υπάρχει ο κύκλος επί του οποίου κείνται τα , απαιτείται η , οφείλουν δηλαδή να κείνται τα , εντός μιας κάποιας έλλειψης. 'Εχουμε ήδη δει ότι, σε συνδυασμό και με την άλλη δοθείσα συνθήκη, , προκύπτει και η συνθήκη : εδώ ... κάνουμε πλέον την προσευχή μας ευχόμενοι να περνάει η ευθεία ΜΕΣΑ από την έλλειψη ... και ευτυχώς αυτό συμβαίνει (βλ. συνημμένο)!
Είναι βέβαια πολύ μικρό το 'χωρίο ύπαρξης' του προβλήματος, ιδίως επειδή ο 'ελλειπτικός' περιορισμός για τα , ισχύει (μέσω αντιστροφής ρόλων) ΚΑΙ για τα , , αλλά ... αυτό θα μπορούσε κάλλιστα να συμβαίνει σε κάποιο ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ πρόβλημα! (Αρχή μου είναι ότι ένα πρόβλημα είναι ενδιαφέρον αν και μόνον αν είναι είτε όμορφο είτε χρήσιμο: το πρόβλημα που μας έστειλε ο Αχιλλέας ΔΕΝ είναι όμορφο, είναι όμως το είδος του προβλήματος που θα μπορούσε κάλλιστα να προκύψει από συνθήκες κάποιου άλλου, πραγματικού προβλήματος!)
- Συνημμένα
-
- regionab.png (23.36 KiB) Προβλήθηκε 1158 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Ανισότητα
achilleas έγραψε: ↑Τρί Απρ 03, 2018 6:42 pmΝα δειχθεί ότι αν και τότε
Σχόλιο: Το πρόβλημα αυτό είναι εμπνευσμένο από τον φετινό προκριματικό των νέων, αλλά δεν είναι σίγουρο ότι όλες οι υποθέσεις είναι απαραίτητες. Για παράδειγμα, δεν είμαστε σίγουροι ότι η υπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά με αυτή ισχύει το συμπέρασμα.
....
Γιώργο, ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση σου με το πρόβλημα αυτό.
Παραθέτω μια αλγεβρική λύση, η ιδέα της οποίας βασίζεται στο σχήμα που παρατίθεται στον παραπάνω σύνδεσμο.
Από τις υποθέσεις, έχουμε και , και παίρνουμε
Επίσης, , οπότε και , οπότε . Έτσι, έχουμε
Συνεπώς,
απ' όπου το συμπέρασμα έπεται.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Αχιλλέα σ' ευχαριστούμε και εμείς για την δεξιοτεχνική -- και κατά βάθος γεωμετρική -- λύση (και κατασκευή) σου! Το γεγονός ότι δεν έδωσε κανείς άλλος στοιχειώδη λύση καταμαρτυρεί την δυσκολία εξεύρεσης της.
Στην δική μου λύση επισήμανα ότι η συνθήκη μπορεί να αντικατασταθεί από την : αυτό ισχύει προφανώς και για την δική σου λύση.
Στην δική μου λύση επισήμανα ότι η συνθήκη μπορεί να αντικατασταθεί από την : αυτό ισχύει προφανώς και για την δική σου λύση.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες