Εξίσωση με πρώτο αριθμό

panagiotis iliopoulos · #1

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι

για τους οποίους η εξίσωση $x^{4}+4=py^{4}$ έχει λύση στους ακεραίους x,y

.

Τσιαλας Νικολαος · #2

Επαναφορά μιας και είναι πολύ ωραίο θεματάκι!!

Prødigy · #3

Η εξίσωση γίνεται py^4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)

Παρατηρούμε ότι αφού

πρώτος, υποχρεωτικά πρέπει x,y

περιττοί, ώστε να ισχύει η ισότητα.

Θέτοντας y=1

παίρνουμε ως λύσεις τα ζεύγη (p,y,x)=(5,1,1) (5,-1,-1)(5,-1,1)(5,1,-1)

Είναι εμφανές ότι δεν υπάρχουν λύσεις για p<5

Τώρα πρέπει να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις για p>5

Έχουμε ότι gcd(x^2+2x+2,x^2-2x+2)=1

αφού στο άλλο μέλος ο

είναι πρώτος.

Θέτουμε x^2-2x+2=a^4

και

όταν

για σύνθετο ακέραιο

.

Συνεπώς (a^2-x+1)(a^2+x-1)=1

που μας δίνει a^2=x=1

Έπειτα με βάση την προηγούμενη σχέση λαμβάνουμε ότι pb^4=5

, οπότε

Άρα τα μόνα ζεύγη λύσεων είναι τα αρχικά.