Απόδειξη Ανισότητας
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Απόδειξη Ανισότητας
Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έχουν άθροισμα ίσο με το 1, να δείξετε ότι:
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη Ανισότητας
Από την ανισότητα Αρμονικού - Γεωμετρικού Μέσου είναι:
οπότε αρκεί να δειχθεί ότι:
Όμως:
και άρα από την ανισότητα Αριθμητικού - Αρμονικού Μέσου είναι και η ανισότητα έπεται.
οπότε αρκεί να δειχθεί ότι:
Όμως:
και άρα από την ανισότητα Αριθμητικού - Αρμονικού Μέσου είναι και η ανισότητα έπεται.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη Ανισότητας
Και μία απόδειξη με την αγαπημένη μου Jensen. Η συνάρτηση είναι κοίλη. Τότε:
Εκθετίζοντας παίρνουμε το ζητούμενο.
Σίγουρα υπάρχουν και άλλες αποδείξεις. Η άσκηση μου είναι γνωστή και οι μόνες αποδείξεις που θυμάμαι αυτή τη στιγμή είναι αυτές οι δύο.
Εκθετίζοντας παίρνουμε το ζητούμενο.
Σίγουρα υπάρχουν και άλλες αποδείξεις. Η άσκηση μου είναι γνωστή και οι μόνες αποδείξεις που θυμάμαι αυτή τη στιγμή είναι αυτές οι δύο.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Απόδειξη Ανισότητας
Άλλη μία εκτός φακέλου φυσικά.
Από ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού-Αρμονικού μέσου είναι:
απ' όπου παίρνουμε:
και
(Η ισότητα ισχύει για )
Από ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού-Αρμονικού μέσου είναι:
απ' όπου παίρνουμε:
και
(Η ισότητα ισχύει για )
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Απρ 22, 2018 6:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη Ανισότητας
Μεταφέρθηκε στον σωστό φάκελο.
Δίνω άλλη μία λύση. Επειδή η ισότητα πιάνεται όταν χρησιμοποιώ την ΑΜ-ΓΜ ως εξής:
Άρα
Όμως από την ΑΜ-ΓΜ έχουμε
Άρα το οποίο μαζί με την (1) δίνει το ζητούμενο.
Δίνω άλλη μία λύση. Επειδή η ισότητα πιάνεται όταν χρησιμοποιώ την ΑΜ-ΓΜ ως εξής:
Άρα
Όμως από την ΑΜ-ΓΜ έχουμε
Άρα το οποίο μαζί με την (1) δίνει το ζητούμενο.
Re: Απόδειξη Ανισότητας
Και άλλη μία προσέγγιση: Από Holder
Όμως από την ΑΜ-ΓΜ έχουμε
Άρα το οποίο δίνει το ζητούμενο.
Όμως από την ΑΜ-ΓΜ έχουμε
Άρα το οποίο δίνει το ζητούμενο.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Απόδειξη Ανισότητας
Έστω αργά ας δούμε και άλλη μία απόδειξη, την οποία δεν μπορούσα να στείλω χθες γιατί έλειπα όλη μέρα εκτός έδρας.Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Κυρ Απρ 22, 2018 3:43 pmΑν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έχουν άθροισμα ίσο με το 1, να δείξετε ότι:
Έχουμε οπότε το αριστερό μέλος είναι
-
- Δημοσιεύσεις: 137
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2010 12:40 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
Re: Απόδειξη Ανισότητας
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμεΚω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Κυρ Απρ 22, 2018 3:43 pmΑν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έχουν άθροισμα ίσο με το 1, να δείξετε ότι:
.
Νίκος Κ.
-
- Δημοσιεύσεις: 26
- Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm
Re: Απόδειξη Ανισότητας
Μία γρήγορη με AM-GM:
Edit: Ευχαριστώ τον Παπαδόπουλο Σταύρο για την επισήμανση του τυπογραφικού λάθους μου.
Edit: Ευχαριστώ τον Παπαδόπουλο Σταύρο για την επισήμανση του τυπογραφικού λάθους μου.
τελευταία επεξεργασία από Pantelis.N σε Τετ Μάιος 27, 2020 10:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες