Κακορίζικη εξίσωση

KARKAR · #1

Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-6x+13}=5$

#2

Καλησπέρα σε όλους.

$\displaystyle \sqrt {{x^2} + 4} + \sqrt {{x^2} - 6x + 13} = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 6x + 13} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - \sqrt {{x^2} + 4}$

Η $\displaystyle f:R \to R,\;\;\;f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 6x + 13} - \frac{5}{2}$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 6x + 13} }}$

Η εφαπτομένη της στο $\displaystyle A\left( {\frac{3}{2},\;0} \right)$ έχει εξίσωση $\displaystyle y = - \frac{3}{5}x + \frac{9}{{10}}$ .

Η

είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της άρα είναι πάνω από την εφαπτομένη της εκτός του σημείου επαφής.

Η $\displaystyle g:R \to R,\;\;\;g\left( x \right) = \frac{5}{2} - \sqrt {{x^2} + 4}$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}$

Η εφαπτομένη της στο $\displaystyle A\left( {\frac{3}{2},\;0} \right)$ έχει εξίσωση $\displaystyle y = - \frac{3}{5}x + \frac{9}{{10}}$ .

Η

είναι κοίλη στο πεδίο ορισμού της άρα είναι κάτω από την εφαπτομένη της εκτός του σημείου επαφής.

Άρα οι γραφικές παραστάσεις των f, g

έχουν κοινό σημείο μόνο το

, άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ .

(Μού επιτρέπετε, ελπίζω, λόγω ονομαστικής εορτής, να μην αιτιολογήσω την κυρτότητα των συναρτήσεων...)

Ορέστης Λιγνός · #3

Μία εντός φακέλου λύση.

Θέτουμε a^2=x^2+4

,

, με

.

Είναι a+b=5

και $a^2-b^2=6x-9 \Rightarrow 5(a-b)=6x-9 \Rightarrow a-b=\dfrac{6x-9}{5}$ (1).

Έτσι, από την a+b=5

, έχουμε

, και με αντικατάσταση στην (1), $a=\dfrac{6x+16}{10}$ .

Επομένως, $x^2+4=a^2=\dfrac{(6x+16)^2}{100}$ , και κάνοντας τις πράξεις, προκύπτει $(2x-3)^2=0 \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{3}{2}}$ , που επαληθεύει, άρα είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης.

nikkru · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 23, 2018 7:49 pm
Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-6x+13}=5$

Καλησπέρα και χρόνια πολλά στους εορτάζοντες,

Άλλη μια λύση εντός φακέλου.

Για τις τιμές του

που ορίζεται η εξίσωση $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-6x+13}=5$ (1)

έχουμε διαδοχικά:

$\sqrt{x^2-6x+13}=5-\sqrt{x^2+4}$ και υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο έχουμε

$x^2-6x+13=25-10\sqrt{x^2+4}+x^2+4 \Leftrightarrow 5\sqrt{x^2+4}=3x+8$ υψώνοντας και πάλι τα δύο μέλη στο τετράγωνο έχουμε

$16x^2-48x+36=0 \Leftrightarrow x=1,5$ που επαληθεύει την αρχική.

#5

Μια ακόμα λύση:

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\sqrt{x^2+2^2}+\sqrt{(3-x)^2+2^2}=5.}$

Όμως από Minkowski (δηλαδή ανισότητα του τριγώνου) είναι

$\displaystyle{\sqrt{x^2+2^2}+\sqrt{(3-x)^2+2^2}\geq \sqrt{(x+3-x)^2+(2+2)^2}=5.}$

Άρα θέλουμε να ισχύει η ισότητα στη Minkowski, οπότε θέλουμε να είνια ανάλογα τα ζεύγη $\displaystyle{(x,2), (3-x,2).}$
Φανερά αυτό συμβαίνει αν-ν $\displaystyle{x=\frac{3}{2}.}$

Φυσικά υπάρχουν και διανυσματικές ή μιγαδικές μεταμφιέσεις της παραπάνω άσκησης.

Χρόνια πολλά στον Γιώργο Ρίζο!

Κακορίζικη εξίσωση

Κακορίζικη εξίσωση

Re: Κακορίζικη εξίσωση

Re: Κακορίζικη εξίσωση

Re: Κακορίζικη εξίσωση

Re: Κακορίζικη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση