Κακορίζικη εξίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κακορίζικη εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 23, 2018 7:49 pm

Λύστε την εξίσωση : \sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-6x+13}=5



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κακορίζικη εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Απρ 23, 2018 9:45 pm

Καλησπέρα σε όλους.

 \displaystyle \sqrt {{x^2} + 4}  + \sqrt {{x^2} - 6x + 13}  = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 6x + 13}  - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - \sqrt {{x^2} + 4}

Η  \displaystyle f:R \to R,\;\;\;f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 6x + 13}  - \frac{5}{2} έχει παράγωγο  \displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 6x + 13} }}

Η εφαπτομένη της στο  \displaystyle A\left( {\frac{3}{2},\;0} \right) έχει εξίσωση  \displaystyle y =  - \frac{3}{5}x + \frac{9}{{10}} .

Η f είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της άρα είναι πάνω από την εφαπτομένη της εκτός του σημείου επαφής.


Η  \displaystyle g:R \to R,\;\;\;g\left( x \right) = \frac{5}{2} - \sqrt {{x^2} + 4} έχει παράγωγο  \displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}

Η εφαπτομένη της στο  \displaystyle A\left( {\frac{3}{2},\;0} \right) έχει εξίσωση  \displaystyle y =  - \frac{3}{5}x + \frac{9}{{10}} .

Η g είναι κοίλη στο πεδίο ορισμού της άρα είναι κάτω από την εφαπτομένη της εκτός του σημείου επαφής.

Άρα οι γραφικές παραστάσεις των f, g έχουν κοινό σημείο μόνο το A, άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι  \displaystyle x = \frac{3}{2} .

(Μού επιτρέπετε, ελπίζω, λόγω ονομαστικής εορτής, να μην αιτιολογήσω την κυρτότητα των συναρτήσεων...)


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1295
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Κακορίζικη εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Απρ 23, 2018 10:13 pm

Μία εντός φακέλου λύση.

Θέτουμε a^2=x^2+4, b^2=x^2-6x+13, με a,b>0.

Είναι a+b=5 και a^2-b^2=6x-9 \Rightarrow 5(a-b)=6x-9 \Rightarrow a-b=\dfrac{6x-9}{5} (1).

Έτσι, από την a+b=5, έχουμε b=5-a, και με αντικατάσταση στην (1), a=\dfrac{6x+16}{10}.

Επομένως, x^2+4=a^2=\dfrac{(6x+16)^2}{100}, και κάνοντας τις πράξεις, προκύπτει (2x-3)^2=0 \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{3}{2}}, που επαληθεύει, άρα είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
nikkru
Δημοσιεύσεις: 304
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Κακορίζικη εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Δευ Απρ 23, 2018 10:21 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 23, 2018 7:49 pm
Λύστε την εξίσωση : \sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-6x+13}=5
Καλησπέρα και χρόνια πολλά στους εορτάζοντες,

Άλλη μια λύση εντός φακέλου.

Για τις τιμές του x που ορίζεται η εξίσωση \sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-6x+13}=5  (1) έχουμε διαδοχικά:

\sqrt{x^2-6x+13}=5-\sqrt{x^2+4} και υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο έχουμε

x^2-6x+13=25-10\sqrt{x^2+4}+x^2+4 \Leftrightarrow 5\sqrt{x^2+4}=3x+8 υψώνοντας και πάλι τα δύο μέλη στο τετράγωνο έχουμε

16x^2-48x+36=0 \Leftrightarrow x=1,5 που επαληθεύει την αρχική.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6083
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Κακορίζικη εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Απρ 23, 2018 10:37 pm

Μια ακόμα λύση:

Η εξίσωση γράφεται \displaystyle{\sqrt{x^2+2^2}+\sqrt{(3-x)^2+2^2}=5.}

Όμως από Minkowski (δηλαδή ανισότητα του τριγώνου) είναι

\displaystyle{\sqrt{x^2+2^2}+\sqrt{(3-x)^2+2^2}\geq \sqrt{(x+3-x)^2+(2+2)^2}=5.}

Άρα θέλουμε να ισχύει η ισότητα στη Minkowski, οπότε θέλουμε να είνια ανάλογα τα ζεύγη \displaystyle{(x,2), (3-x,2).}
Φανερά αυτό συμβαίνει αν-ν \displaystyle{x=\frac{3}{2}.}

Φυσικά υπάρχουν και διανυσματικές ή μιγαδικές μεταμφιέσεις της παραπάνω άσκησης.

Χρόνια πολλά στον Γιώργο Ρίζο!


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης