Ανισότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 34
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Καλησπέρα σε όλους.ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 14, 2018 3:25 amΑν , ώστε να δείξετε ότι:
Πηγή: (Aops) (Δεν έχει ανέβει κάποια λύση ακόμη).
Μετά από καιρό, ας δούμε μία λύση σε αυτό το ωραίο πρόβλημα.
Καταρχήν, θα δείξουμε το εξής Λήμμα:
Λήμμα
Για κάθε πραγματικούς, ισχύει ότι .
Απόδειξη
Προφανώς, αρκεί .
Θέτουμε , οπότε . Τότε, με αντικατάσταση, προκύπτει και άρα αρκεί ή αλλιώς , που ισχύει, γιατί .
Η απόδειξη του Λήμματος ολοκληρώθηκε, οπότε πάμε στην άσκηση.
Έστω, δίχως βλάβη της γενικότητας, (η προς απόδειξη ανισότητα είναι συμμετρική, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε κάτι τέτοιο).
Τότε, αφού , είναι προφανώς .
Διακρίνουμε λοιπόν δύο περιπτώσεις :
Περίπτωση 1 .
Τότε, είναι σε συνδυασμό με το Λήμμα, , οπότε αρκεί .
Θέτοντας , με , μετά τις πράξεις, αρκεί (1).
Όμως, είναι , οπότε , άρα έχουμε , ό.έ.δ.
Περίπτωση 2
Τότε, έχουμε, πάλι σε συνδυασμό με το Λήμμα και το γεγονός ότι , για κάθε και (πράγματι, ) έχουμε :
, οπότε αρκεί ή ισοδύναμα
, που προφανώς ισχύει, αφού .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Η ισότητα, ισχύει όταν .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες