Ανισότητα με δύο ακεραίους!

#1

Αν οι $\displaystyle{x,y>1}$ είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)\geq 3x^2y^2+1.}$

Math Rider · #2

Η ανισότητα γράφεται ως $\displaystyle x^{3}y^{3}\geq 3x^{2}y^{2}+x^{3}+ y^{3}$ ή $\displaystyle \displaystyle{1\geq \frac{3}{xy}+ \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}}$ .

Επειδή $\displaystyle x\geq 2$ και $\displaystyle y\geq 2$ έχουμε αντιστοίχως ότι $\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{x}\leq \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{y}\leq \frac{1}{2}}$ .

Επομένως $\displaystyle \displaystyle{ \frac{3}{xy}+ \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{8} +\frac{1}{8}=1 }$ .
Η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle x=y=2$ .

S.E.Louridas · #3

matha έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 05, 2018 10:26 am
Αν οι $\displaystyle{x,y>1}$ είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)\geq 3x^2y^2+1.}$

Καταρχάς πολύ εύκολα διαπιστώνουμε ότι ως ισότητα ισχύει όταν x=y=2.

Έχουμε ότι: $\left( {x > 1,\;y > 1} \right) \Rightarrow xy \geqslant x + y,$ με την ισότητα να ισχύει εδώ μόνο όταν x=y=2.

Αν λοιπόν τουλάχιστον ένας από τους x,y

είναι μεγαλύτερος του

, τότε, η αρχική ισοδύναμα γράφεται ${\left( {xy - 1} \right)^3} > {x^3} + {y^3} + 3xy - 1.$
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ${\left( {x + y - 1} \right)^3} > {x^3} + {y^3} + 3xy - 1,$ αρκεί, …, αρκεί ${x^2}{y^2} - {\left( {x + y} \right)^2} + x + y \geqslant 0,$
αρκεί ${\left( {x + y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} + x + y \geqslant 0,$ ή $x+y\geqslant 0,$ που ισχύει.

#4

matha έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 05, 2018 10:26 am
Αν οι $\displaystyle{x,y>1}$ είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)\geq 3x^2y^2+1.}$

Αν

(και $x\ge 2$ ) η αποδεικτέα είναι άμεση αφού τότε

$\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)= 7(x^3-1) \geq 7(2x^2-1) = 12 x^2+ 1 + 2(x^2 -4) = 3x^2y^2+1 + 2(x^2 -4)$

$\displaystyle{\ge 3x^2y^2+1}$ .

Όμοια αν x=2

. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x\ge 3, \, y\ge 3$ . Τότε όμως

$\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)\ge (3x^2-1)(3y^2-1)= 9x^2y^2-3x^2-3y^2 +1=$

$\displaystyle {3x^2y^2+1+ 3x^2(y^2-1) + 3y^2(x^2-1) > 3x^2y^2+1+ 0+0}$

Ανισότητα με δύο ακεραίους!

Ανισότητα με δύο ακεραίους!

Re: Ανισότητα με δύο ακεραίους!

Re: Ανισότητα με δύο ακεραίους!

Re: Ανισότητα με δύο ακεραίους!

Μέλη σε σύνδεση