Ανισότητα με δύο ακεραίους!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6207
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ανισότητα με δύο ακεραίους!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Αύγ 05, 2018 10:26 am

Αν οι \displaystyle{x,y>1} είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι

\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)\geq 3x^2y^2+1.}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Math Rider
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2010 12:40 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Ανισότητα με δύο ακεραίους!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math Rider » Κυρ Αύγ 05, 2018 11:46 am

Η ανισότητα γράφεται ως \displaystyle x^{3}y^{3}\geq 3x^{2}y^{2}+x^{3}+ y^{3} ή \displaystyle \displaystyle{1\geq \frac{3}{xy}+ \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}} .

Επειδή \displaystyle x\geq 2 και \displaystyle y\geq 2 έχουμε αντιστοίχως ότι \displaystyle \displaystyle{\frac{1}{x}\leq  \frac{1}{2}} και \displaystyle \displaystyle{\frac{1}{y}\leq  \frac{1}{2}} .

Επομένως \displaystyle \displaystyle{ \frac{3}{xy}+ \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3} \leq  \frac{3}{4} + \frac{1}{8} +\frac{1}{8}=1 }.
Η ισότητα ισχύει όταν \displaystyle x=y=2.


Νίκος Κ.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με δύο ακεραίους!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Αύγ 05, 2018 12:09 pm

matha έγραψε:
Κυρ Αύγ 05, 2018 10:26 am
Αν οι \displaystyle{x,y>1} είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι \displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)\geq 3x^2y^2+1.}
Καταρχάς πολύ εύκολα διαπιστώνουμε ότι ως ισότητα ισχύει όταν x=y=2.
Έχουμε ότι: \left( {x > 1,\;y > 1} \right) \Rightarrow xy \geqslant x + y, με την ισότητα να ισχύει εδώ μόνο όταν x=y=2.
Αν λοιπόν τουλάχιστον ένας από τους x,y είναι μεγαλύτερος του 2, τότε, η αρχική ισοδύναμα γράφεται {\left( {xy - 1} \right)^3} > {x^3} + {y^3} + 3xy - 1.
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε {\left( {x + y - 1} \right)^3} > {x^3} + {y^3} + 3xy - 1, αρκεί, …, αρκεί {x^2}{y^2} - {\left( {x + y} \right)^2} + x + y \geqslant 0,
αρκεί {\left( {x + y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} + x + y \geqslant 0, ή x+y\geqslant 0, που ισχύει.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11954
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα με δύο ακεραίους!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Αύγ 05, 2018 2:51 pm

matha έγραψε:
Κυρ Αύγ 05, 2018 10:26 am
Αν οι \displaystyle{x,y>1} είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι

\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)\geq 3x^2y^2+1.}
Αν y=2 (και x\ge 2) η αποδεικτέα είναι άμεση αφού τότε

\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)= 7(x^3-1) \geq 7(2x^2-1) = 12 x^2+ 1 + 2(x^2 -4) =  3x^2y^2+1 + 2(x^2 -4)

\displaystyle{\ge 3x^2y^2+1}.

Όμοια αν x=2. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι x\ge 3, \, y\ge 3. Τότε όμως

\displaystyle{(x^3-1)(y^3-1)\ge (3x^2-1)(3y^2-1)= 9x^2y^2-3x^2-3y^2 +1=

 \displaystyle {3x^2y^2+1+ 3x^2(y^2-1) + 3y^2(x^2-1) > 3x^2y^2+1+ 0+0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης