Πρώτος αριθμός

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 35
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Πρώτος αριθμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Τετ Αύγ 15, 2018 3:25 pm

Καλησπέρα σας. Συνάντησα ένα πρόβλημα με την εκφώνηση:
Ισχύει ότι για οποιονδήποτε φυσικό n ο αριθμός n^{2}+n+41 είναι πρώτος;
Επειδή αδυνατώ να το λύσω, παρακαλώ όποιον μπορεί να δώσει μία λύση.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10614
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος αριθμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Αύγ 15, 2018 3:29 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Τετ Αύγ 15, 2018 3:25 pm
Καλησπέρα σας. Συνάντησα ένα πρόβλημα με την εκφώνηση:
Ισχύει ότι για οποιονδήποτε φυσικό n ο αριθμός n^{2}+n+41 είναι πρώτος;
Επειδή αδυνατώ να το λύσω, παρακαλώ όποιον μπορεί να δώσει μία λύση.
Δεν γράφω λύση επειδή η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή.

Υπόδειξη: Δοκίμασε n=41.

Και τώρα μία άσκηση για σένα: Βρες (αν υπάρχουν) όλα τα 0 \le n \le 41 για τα οποία ο n^{2}+n+41 δεν είναι πρώτος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10614
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος αριθμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Αύγ 17, 2018 10:44 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Αύγ 15, 2018 3:29 pm
Υπόδειξη: Δοκίμασε n=41.

Και τώρα μία άσκηση για σένα: Βρες (αν υπάρχουν) όλα τα 0 \le n \le 41 για τα οποία ο n^{2}+n+41 δεν είναι πρώτος.
Παναγιώτη, χάθηκες.

Καμιά πρόοδος στα παραπάνω;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10614
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος αριθμός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 03, 2018 6:35 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Αύγ 17, 2018 10:44 am
Παναγιώτη, χάθηκες.

Καμιά πρόοδος στα παραπάνω;
Παναγιώτη: Νέα υπενθύμιση...


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Σεπ 04, 2018 12:59 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Σεπ 03, 2018 6:35 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Αύγ 17, 2018 10:44 am
Παναγιώτη, χάθηκες.

Καμιά πρόοδος στα παραπάνω;
Παναγιώτη: Νέα υπενθύμιση...
θα του το μεταφέρω!


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 35
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Παρ Σεπ 07, 2018 11:46 am

Κύριε Λάμπρου δεν μπορώ να το λύσω. Ζητώ συγγνώμη για την καθυστέρηση. Παρακαλώ αν μπορείτε να μου υποδείξετε τη λύση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10614
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος αριθμός

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 08, 2018 4:11 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Παρ Σεπ 07, 2018 11:46 am
Παρακαλώ αν μπορείτε να μου υποδείξετε τη λύση.
Παναγιώτη, συγνώμη που δεν απάντησα αμέσως αλλά ήμουνα στην Αθήνα κάνοντας σεμινάρια σε όλους τους Δασκάλους, σε ένα μεγάλο σχολείο: Ωραιότατη εμπειρία με 42 ενθουσιώδη άτομα στο ακροατήριο.

Στο θέμα μας.

Για n=41 είναι n^2+n+41=41^2+41+41= 41\times (41+1+1)= σύνθετος.

Τυχαίνει ο n=41 να μην είναι είναι ο μικρότερος με την εν λόγω ιδιότητα (να δίνει σύνθετο). Απλά γι' αυτόν τον n φαίνεται "από μακρυά" ότι o n^2+n+41 είναι σύνθετος. Ο μοναδικός μικρότερος βγαίνει να είναι ο n=40.

To γεγονός ότι για n από 0 έως 39 παίρνουμε μόνο πρώτους αριθμούς είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτο, και ελέγχεται μόνο "χειρωνακτικά", με πράξεις, πράξεις, πράξεις.

Το πολυώνυμο αυτό το κατασκεύασε ο Euler. Στο φόρουμ μας είναι γνώριμο, π.χ είναι αναφερθεί σε αυτό στο ποστ #1687 εδώ.


min##
Δημοσιεύσεις: 130
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Σεπ 08, 2018 4:50 pm

Να πούμε ότι είχε μπει πρόβλημα σε Imo(28η) πριν αρκετά χρόνια που ζητούσε να δειχτεί ότι αν ο αριθμόςk^2+k+n είναι πρώτος για 0\leq k\leq \sqrt{\frac{n}{3}} τότε είναι πρώτος και για 0\leq k\leq n-2.Αυτό δείχνει ότι ουσιαστικά χρειάζονται 4 "πράξεις-περιπτώσεις"-μαζί με την τετριμμένη k=0..


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 35
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Σάβ Σεπ 08, 2018 7:11 pm

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ και ζητώ και πάλι συγγνώμη για την καθυστέρηση. Εγώ προσπάθησα να γενικεύσω το πρόβλημα. Θεώρησα ότι επειδή ο 41 είναι πρώτος το πρόβλημα μπορεί να γενικευθεί ως εξής: Να βρεθούν οι φυσικοί n για τους οποίους ο n^{2}+n+p είναι πρώτος(προφανώς για n=p και για n=p-1 είναι σύνθετος), αλλά δεν λυνόταν έτσι. Και πάλι σας ευχαριστώ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2043
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πρώτος αριθμός

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 08, 2018 11:51 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Τετ Αύγ 15, 2018 3:25 pm
Καλησπέρα σας. Συνάντησα ένα πρόβλημα με την εκφώνηση:
Ισχύει ότι για οποιονδήποτε φυσικό n ο αριθμός n^{2}+n+41 είναι πρώτος;
Επειδή αδυνατώ να το λύσω, παρακαλώ όποιον μπορεί να δώσει μία λύση.
https://en.wikipedia.org/wiki/Lucky_numbers_of_Euler

Τα παρακάτω είναι από το καταπληκτικό βιβλίο
Matters Mathematical
I.N.Herstein -I.Kaplansky
(σελ 38)

Ο αριθμός m λέγεται lucky number αν

για n=0,1,..m-1
ο αριθμός n^{2}-n+m είναι πρώτος

η ισοδύναμα

για n=0,1,..m-2
ο αριθμός n^{2}+n+m είναι πρώτος

((n+1)^{2}-(n+1)+m=n^{2}+n+m)

Κάνοντας πράξεις μπορεί να διαπιστωθεί ότι οι αριθμοί

2,3,5,11,17,41 είναι lucky number.

Το 1934 οι H.Heilbroun,E.N.Linfoot
απέδειξαν ότι υπάρχει το πολύ ακόμα ένας lucky number εκτός των παραπάνω.

Το 1967 ο H.M.Stark απέδειξε ότι είναι μόνο οι παραπάνω.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4155
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πρώτος αριθμός

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Σεπ 09, 2018 8:19 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ένα παρόμοιο θέμα βρίσκεται στο βιβλίο της κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στην ύλη της Μαθηματικής Επαγωγής, (η οποία ύλη φαίνεται ότι είναι πλέον άχρηστη για τα Λύκειά μας).


Απόδειξη 1.jpg
Απόδειξη 1.jpg (128.42 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές

Λ. Αδαμόπουλος κ.α., Μαθηματικά Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Β΄ Γενικού Λυκείου, Εκδόσεις ΙΤΥΕ Διόφαντος, 2016, σ. 137



Αυτό το θέμα το χρησιμοποιήσαμε στο βιβλίο "Οδός Μαθηματικής Σκέψης" στην ενότητα που αναφερόμαστε στην αναγκαιότητα της απόδειξης κάθε μαθηματικής πρότασης.

Απόδειξη 2.jpg
Απόδειξη 2.jpg (153.64 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
Με την ευκαιρία, μια παράκληση προς όσους έχουν το βιβλίο να κάνουν μια μικρή διόρθωση, που υπέδειξε ο αγαπητός φίλος Γιώργος Μπαλόγλου. Στη σελίδα 135, αράδα 2, το 41 ας γίνει 40 (όπως στην παραπάνω εικόνα).


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2568
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Πρώτος αριθμός

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Σεπ 09, 2018 11:04 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Σεπ 09, 2018 8:19 pm
Με την ευκαιρία, μια παράκληση προς όσους έχουν το βιβλίο να κάνουν μια μικρή διόρθωση, που υπέδειξε ο αγαπητός φίλος Γιώργος Μπαλόγλου. Στη σελίδα 135, αράδα 2, το 41 ας γίνει 40 (όπως στην παραπάνω εικόνα).
Γιώργο κλασικό το παράδειγμα, νομίζω το είχα πρωτοδεί στην Άλγεβρα του Κανέλλου! Όντως πολύ κοντά το 40 στο 41 ;)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης