Να βρεθεί το πλήθος ακεραίων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Να βρεθεί το πλήθος ακεραίων
Για πόσες θετικές ακέραιες τιμές του , έχει η εξίσωση μία τουλάχιστον ακέραια λύση, με τους επίσης θετικούς ακεραίους;
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Να βρεθεί το πλήθος ακεραίων
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Παρ Αύγ 31, 2018 8:40 pmΓια πόσες θετικές ακέραιες τιμές του , έχει η εξίσωση μία τουλάχιστον ακέραια λύση, με τους επίσης θετικούς ακεραίους;
Re: Να βρεθεί το πλήθος ακεραίων
Θα μετρηθούν οι square-free από το μέχρι το .
Θεωρώ σύνολα ,με και έστω ο τελευταίος πρώτος το τετράγωνο του οποίου δεν υπερβαίνει το (δηλαδή το ).Από αρχή εγκλεισμού,αποκλεισμού,είναι :, όπου το αριστερό μέλος μετράει όλους τους αριθμούς μικρότερους του 1000 που διαιρούνται με τετράγωνο πρώτου.Άρα οι square-free είναι
.
Παρατηρώ ότι το π.χ. αποτελείται από στοιχεία της μορφής ,οπότε αν ορίσω ,θα ισχύει .Έτσι,ψάχνω το .
Με άλλα λόγια,αν ξεχάσω για λίγο τα πρόσημα,για κάθε αριθμό-square-free αυτό που κάνω είναι να υπολογίζω το .
Παρατηρώ ότι το πρόσημο είναι θετικό για κάθε τέτοιο αριθμό που έχει άρτιο αριθμό πρώτων στην παραγοντοποίησή του και αρνητικό για κάθε τέτοιον αριθμό που έχει περιττό αριθμό πρώτων στην παραγοντοποίησή του.Για να γενικεύσω για κάθε αριθμό,θέλω μια συνάρτηση που όταν δέχεται non-square-free αριθμούς να επιστρέφει 0.Η παραπάνω περιγραφή είναι της συνάρτησης mobius,και ο τύπος παίρνει την τελική του μορφή:.
Τώρα μένει να υπολογιστεί αυτό:
(Για τον υπολογισμό χρησιμοποίησα πίνακα με τις τιμές της mobius-φτιάχνεται εύκολα).Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο .
Θεωρώ σύνολα ,με και έστω ο τελευταίος πρώτος το τετράγωνο του οποίου δεν υπερβαίνει το (δηλαδή το ).Από αρχή εγκλεισμού,αποκλεισμού,είναι :, όπου το αριστερό μέλος μετράει όλους τους αριθμούς μικρότερους του 1000 που διαιρούνται με τετράγωνο πρώτου.Άρα οι square-free είναι
.
Παρατηρώ ότι το π.χ. αποτελείται από στοιχεία της μορφής ,οπότε αν ορίσω ,θα ισχύει .Έτσι,ψάχνω το .
Με άλλα λόγια,αν ξεχάσω για λίγο τα πρόσημα,για κάθε αριθμό-square-free αυτό που κάνω είναι να υπολογίζω το .
Παρατηρώ ότι το πρόσημο είναι θετικό για κάθε τέτοιο αριθμό που έχει άρτιο αριθμό πρώτων στην παραγοντοποίησή του και αρνητικό για κάθε τέτοιον αριθμό που έχει περιττό αριθμό πρώτων στην παραγοντοποίησή του.Για να γενικεύσω για κάθε αριθμό,θέλω μια συνάρτηση που όταν δέχεται non-square-free αριθμούς να επιστρέφει 0.Η παραπάνω περιγραφή είναι της συνάρτησης mobius,και ο τύπος παίρνει την τελική του μορφή:.
Τώρα μένει να υπολογιστεί αυτό:
(Για τον υπολογισμό χρησιμοποίησα πίνακα με τις τιμές της mobius-φτιάχνεται εύκολα).Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο .
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Να βρεθεί το πλήθος ακεραίων
Για να μην ''φοβηθεί'' κανένας Junior από την λύση του Μίνωα, υπάρχει και πιο απλή λύση.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Να βρεθεί το πλήθος ακεραίων
.nikkru έγραψε: ↑Παρ Αύγ 31, 2018 9:56 pmΠόσοι θετικοί ακέραιοι που δεν υπερβαίνουν το διαιρούνται με τετράγωνο πρώτου;Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Παρ Αύγ 31, 2018 8:40 pmΓια πόσες θετικές ακέραιες τιμές του , έχει η εξίσωση μία τουλάχιστον ακέραια λύση, με τους επίσης θετικούς ακεραίους;
Για να ισχύει για θετικούς ακέραιους ή θα είναι και οι τρεις τετράγωνα ακεραίων ή μπορούν να γραφούν ως εξής:
με ακέραιοι.
Επομένως ζητάμε το πλήθος των θετικών ακεραίων που δεν υπερβαίνουν το και διαιρούνται με τετράγωνο πρώτου, δηλαδή ζητάμε τα
πολλαπλάσια των: από έως και .Το πλήθος τους είναι .
Η ιδέα της λύσης είναι ίδια με του με χρήση γνώσεων Α Λυκείου (παρόμοια άσκηση η 5 της Β ομάδας στην παραγρ. 5.2 του σχολικού βιβλίου).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης