Ριζικά και ακέραιος αριθμός

#1

Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος

ώστε ο αριθμός

$\sqrt{100 + \sqrt{n}} + \sqrt{100 - \sqrt{n}}$

να είναι ακέραιος.

#2

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 29, 2018 12:03 am
Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος ώστε ο αριθμός

$\sqrt{100 + \sqrt{n}} + \sqrt{100 - \sqrt{n}}$

να είναι ακέραιος.

Θα δούμε ότι ο $\displaystyle{\sqrt{100 + \sqrt{n}} + \sqrt{100 - \sqrt{n}}}$ είναι ακέραιος για ακριβώς δύο τιμές του

(πέρα από την προφανή n=0

) οπότε επιλέγουμε τον μικρότερο.

Η $\displaystyle{f(n) = \sqrt{100 + \sqrt{n}} + \sqrt{100 - \sqrt{n}} }$ , που βέβαια έχει π.ο. το [0, 10^4]

, είναι

και γνήσια φθίνουσα αφού η $f^2(n)= 200+2\sqrt{10^4-n}$ είναι εμφανώς φθίνουσα.

Άρα f(n) <f(0)=20

και $f(n) \ge f(10^4) = \sqrt {200}>14$ . Οπότε οι ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει είναι οι $15, \, 16, \, 17, \, 18,\, 19$ . Τώρα δεν έχουμε παρά να λύσουμε τις εξισώσεις $\displaystyle{f(n)=15, \, ... \, , f(n)=19}$ και να ελέγξουμε ποια έχει ακέραια ρίζα.

Είναι $\displaystyle{\sqrt{100 + \sqrt{n}} + \sqrt{100 - \sqrt{n}}=m}$ (=ακέραιος από

έως

) οπότε υψώνοντας στο τετράγωνο είναι $\displaystyle{2\sqrt {10^4 - n} = m^2-200}$ και ξανά, $\displaystyle{4(10^4-n) = (m^2-200)^2}$ , δηλαδή $\displaystyle{n= 10^4- \frac {(m^2-200)^2}{4}}$

Ακέραιο

δίνουν τα (άρτια) m=16

και

. Συγκεκριμένα δίνουν n=9216

και

, αντίστοιχα. Κρατάμε το δεύτερο.

Ριζικά και ακέραιος αριθμός

Ριζικά και ακέραιος αριθμός

Re: Ριζικά και ακέραιος αριθμός

Μέλη σε σύνδεση