mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 29, 2020 5:11 pm**

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c

. Να δειχθεί ότι $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$ . Γενικεύστε σε

μεταβλητές.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 29, 2020 6:11 pm**

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 29, 2020 5:11 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$ . Γενικεύστε σε μεταβλητές.

Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\rm (1+1+1)(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ .

Γενίκευση:
Χρησιμοποιώντας την Cauchy-Schwarz έχουμε
$\left ( \underset{\rm n\,\,\varphi o\rho \acute{\varepsilon }\varsigma }{\underbrace{1+1+...+1 }}\right )(\rm a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)\geq (a_1+a_2+...+a_n)^2\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \boxed{\rm n(\rm a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)\geq (a_1+a_2+...+a_n)^2}$ .

Η ισότητα ισχύει όταν $\rm a_1=a_2=...=a_n$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 29, 2020 6:28 pm**

Ωραία και σχετική είναι και η ανισότητα από τον Αρχιμήδη του 2008 παρακάτω: viewtopic.php?t=23712

mathematica.gr

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2