Ανισοτικές σχέσεις

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3228
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανισοτικές σχέσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Αύγ 09, 2020 11:24 am

Δίνονται a,b,c\in \mathbb{R}
ώστε
1-4ab\geq 0,1-4ac\geq 0
Αν είναι
\sqrt{1-4ab}+\sqrt{1-4ac}> 4a
να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους a,b,c
είναι μικρότερος του \frac{1}{\sqrt{8}}



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ανισοτικές σχέσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Αύγ 09, 2020 1:11 pm

Καλησπέρα!

Έστω ότι οι a,b,c θετικοί. Ειδάλλως, το ζητούμενο είναι προφανές.

Αφού ab\leq \dfrac{1}{4}, ac\leq \dfrac{1}{4},

μπορώ να θεωρήσω ότι ab=\dfrac{sin^2x}{4}, ac=\dfrac{sin^2y}{4}, με

x,y\epsilon [0, \dfrac{\pi }{2}].

Η δεδομένη ανισοτική σχέση γράφεται

cosx+cosy> 4a.

Διακρίνω δύο περιπτώσεις:

1)cosx, cosy\leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Τότε a<\dfrac{1}{\sqrt{8}}

2)cosx> \dfrac{\sqrt{2}}{2} (όμοια για cosy> \dfrac{\sqrt{2}}{2}).

Οπότε cos^2x> \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow sin^2x< \dfrac{1}{2}

και ab=\dfrac{sin^2x}{4}< \frac{1}{8}\Rightarrow min (a,b)< \dfrac{1}{\sqrt{8}}.

Τελικά το ζητούμενο ισχύει σε κάθε περίπτωση.


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ανισοτικές σχέσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Αύγ 09, 2020 1:51 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Αύγ 09, 2020 11:24 am
Δίνονται a,b,c\in \mathbb{R}
ώστε
1-4ab\geq 0,1-4ac\geq 0
Αν είναι
\sqrt{1-4ab}+\sqrt{1-4ac}> 4a
να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους a,b,c
είναι μικρότερος του \frac{1}{\sqrt{8}}
Καλημέρα! :)

Έστω πως a,b,c \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{8}}.
Τότε, ab \geqslant \dfrac{1}{8}, άρα \dfrac{1}{2} \geqslant 1-4ab \geqslant 0, οπότε \sqrt{1-4ab} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Όμοια, \sqrt{1-4ac} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}, άρα:

\sqrt{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \geqslant \sqrt{1-4ab}+\sqrt{1-4ac} >4a \geqslant \dfrac{4}{\sqrt{8}}=\sqrt{2}, άτοπο.

Συνεπώς, τουλάχιστον ένας εκ των a,b,c είναι <\dfrac{1}{\sqrt{8}}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης